文档介绍：数列知识点总结
定义：a„+l ~an =d( d 为常数),《=%+(〃 —l)d
等差中项：x, A y成等差数列o 2A = x + y
、,. (a, + a„) n 〃(几一1)
前〃项和 Sn = "~以一=〃％ + D—L d
2 2
性质：｛%｝是等差数列
若 m + r = p + q ,贝U am + an =ap+ 与；
绷J徐",｛。盘虹搭仍为等差数列，& $2广院S”-5新 仍为等差数
列，公差为n2d ；
若三个成等差数列，可设为a — d, a a + d
若a“，如是等差数列，且前〃项和分别为&, L，则冬l
fl fl II II -J r~ri
bm -Gm-1
｛%｝为等差数列=an2+bn ( a, b为常数，是关于k的常数项为0的二 次函数)
S,的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出｛%｝中的正、负分界
项，艮口：当％〉O, d<0,解不等式组0,1 ~°可得S,,达到最大值时的k值.
1«„+1 < °
当％<0, d>Q,由< "~ °可得&达到最小值时的〃值.
b„+1 z 0
项数为偶数2〃的等差数列｛a“｝,有
S2n = )= 〃(。2 + a2n-l )=…= 〃(a" +a"(a“,a”|为中间两项)
S冬 a
S 偶一S 奇=nd 9 —————.
1丙 可 Q
。偶 an+l
(7)项数为奇数2〃-1的等差数列｛%｝,有
=⑵z —l）a“（a“为中间项）,
S命—S偶=a„
定义：= q (g为常数，”0) , a” = a—f
等比中项:
X、G y成等比数列^G~ = xy ,或G = +-Jxy
前n项和:
S"
na｛ （q = 1）
（要注意！）
-4——（5）
〔I
性质：｛%｝是等比数列
(1)若 m + R = p + q ,则 am* crn = ap aq
（2）%, $2,1况禹"一禹“
仍为等比数列，公比为q".
注意：由S,,求an时应注意什么？
〃 =1 时，q =禹；〃 2 2 时，an = Sn - S"_]
(1)求差(商)法
如：数列{%}, —+^2a2 +
解 〃 =1 时，& % = 2 x 1 + 5 , /. G] = 14
〃>2 时，— + + = 2n-l + 5
+ 另4 =2〃 + 5，求a“
2"
14 (〃 = 1)
2,,+1 (〃 > 2)
［练习］数列｛?｝满足S〃+Sg=：Qg, %=4,求％
注意到an+1 = Sn+1 - Sn，代入得鱼四=4又S］=4, .•.｛&｝是等比数列，Sn = 4n s,
（2）叠乘法
如：数列｛a“｝中，％=3,鱼=
an
解 纺％... . 1«! 。2 an-\ 2
n-1
—=—X o, = 3, /• an =—
ax n n
(3)等差型递推公式
由 an ~an-\ - fM9。1=。0，求。/ 用迭加法
。2-。1 =f(2)
〃22 时，[[⑶，两边相加得=f(2) + f(3) + ……+ /•(〃)
4 一 %_i =f(〃)
a” =aQ+ f (2) + f ⑶ + + f (〃)
[练习]数列{%}中，％=1, an =3n^ +an_l(n> 2),求 a“(“"一谈，一U)
等比型递推公式
a"=ca“_]+d ( c、d 为常数，c?0, c?l d?0)
可转化为等比数列，设an+x = c(an_{ +x)^>an= can_{ +(c-l)x
令(c-l)x = d, x = .•」勾+<)是首项为为+二，c为公比的等比数列
c-1 [ c-lj c-1
..a“+ =|弓+ , c , .. an=\ax+ \c ;
c-1 k c-1 J k c-1 J c-1
倒数法
如：为 = 1, a”】= ，L—，求 an
与+2
由已知得：—=^1=_+—, !
a”i 2a,, 2 an an+x an 2
为等差数歹U, — = i,公差为上,/. — = i+(/；-1)*— = — (?z+i)»
a,J % 2 an 2 2
. 2
求数列前n项和的常用方法
（1）裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
n 1
如：｛a,,｝是公差为刀的等差数列，