文档介绍：小波变换与傅里叶变换小波变换与傅里叶变换如果有人问我,如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念) ,是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我, 如果第一代小波变换没学好, 能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我, 没学好傅里叶变换, 能否操作( 编程) 小波变换, 或是没学好第一代小波,能否操作二代小波变换,答案是肯定的。一、一、基的概念我们要明确的是基的概念。两者都是基, 信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积, 更通俗的说是投影。展开系数大的,说明信号和基,是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是,傅里叶是 0-2pi 标准正交基,而小波是-in f 到 inf 之间的基。因此, 小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基( 正弦或余弦) ,与此相反。而小波能不能成为 Reisz 基,或标准稳定的正交基,还有其它的限制条件。此外,两者相似的还有就是 PARSEVA L 定理。(时频能量守恒)。二、二、离散化的处理傅里叶变换, 是一种数学的精妙描述。但计算机实现, 却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步, 时域离散化, 我们得到离散时间傅里叶变换( DTFT ) ,频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们得到离散周期傅里叶级数( DFS ) ,时域进一步被周期化。第三步,考虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究, 也就是众所周知的离散傅里叶变换( DFT )。这里说一句, DFT 是没有物理意义的, 它只是我们研究的需要。借此, 计算机的处理才成为可能。下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件(从-INF 到+INF 积分为零) 的函数,都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子, 在时域计算量和频域的混叠来说, 都是极为不便的。用更为专业的俗语,叫再生核。也就是,对于任何一个尺度 a 和平移因子 b 的小波,和原信号内积, 所得到的小波系数,都可以表示成,在 a,b 附近生成的小波,投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西,它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力, 已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以下步骤是一种有效方法。第一步, 尺度离散化。一般只将 a 二进离散化, 此时 b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步,离散 b 。怎么离散化呢? b 取多少才合适呢?于是,叫小波采样定理的东西, 就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离( 采样间隔) ,应该大于二倍小波基的最高频率(好像类似,记不清了)。所以 b 取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波,对应频谱越窄, 平移量应该越大,采样间隔越大。当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是 3 倍的频域窗口半径的前提下, 频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不了这个条件, 而且频域窗口能量不集中, 所以只是近似二分的)。这时的小波变换, 称为离散二进小波变换。第三步, 引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件,就是 0<A<=B<+INF , 并且小波函数线性