文档介绍：《导数及其应用》知识点总结
、导数的概念和几何意义
1.
函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x1, x2］上的平均变化率为:
X2 Xi
导数的定义：设函数 y f(x)在区间(a,b)上有定义， % (a,b),若 x无限趋近于 0时，比值
工 L(x—x) f (x0)无限趋近于一个常数 A,则称函数f(x)在x %处可导，并称该常数 A为函数f(x)在 x x
x xo处的导数，记作 f (xo)。函数f(x)在x xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
求函数导数的基本步骤：( 1 )求函数的增量 y f(% x) f(x0) ； (2)求平均变化率：
止0一x) f(xo); (3)取极限，当 x无限趋近与 0时，f(x-x) f(xo)无限趋近与一个常数 A,则
x x
f (x。)A .
导数的几何意义：
函数f(x)在x %处的导数就是曲线y f(x)在点(x0, f(%))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求
曲线的切线方程，具体求法分两步：
(1)求出y f (x)在x0处的导数，即为曲线 y f(x)在点(%, f (%))处的切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y y0 f (x0)(x x0)0
当点P(x0,y°)不在y f(x)上时，求经过点P的y f(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到
切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线y f(x)在点(%, f(%))处的切线平行与y轴,
这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 x x0。
导数的物理意义：
质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t),则V S(t)表示瞬时速度，a v⑴表示瞬时加速度。
二、导数的运算
.常见函数的导数：
(kx b) k(k, b 为常数)； (2) C 0( C为常数)；
(x) 1; (4) (x2) 2x ；
(5)(x3) 3x2； (6) ©)出；
(8)
(x )
以 (a为常数)；
(9) (ax) axlna(a 0,a 1)；
(11) (ex) ex;
(13) (sin x) cosx ;
2. 函数的和、差、积、商的导数：
(1) [ f(x) g(x)] f (x) g (x);
(10) (loga x) 1logae ^-(a 0,a 1);
x xin a
(12) (in x) 1；
x
(cosx) sin x °
[Cf (x)] Cf (x) (C为常数)；
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x) ; (4)[上吗 f (x)g(x)2 f(x)g (x) (g(x) 0)。
g(x) g (x)
简单复合函数的导数：
若 y f (u), u ax b ,贝U yx yu ux , gp yx yu a o
三、导数的应用
求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y f(x)在区间(a,b)内可导，
(1)如果恒f (x) 0,则函数y f (x)在区间(a,b)上为增函数；
(2)如果恒f (x) 0,则函数y f (x)在区间(a,b)上为减函数；
(3