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第一章解三角形
1、正弦定理:
有:
C中, a
sin
a、b、c分别为角
sin sinC
2R.
2、正弦定理的变形公式:
① a 2Rsin
、C的对边，R为
C的外接圆的半径，则
② sin — 2R
③ a:b:c sin
④
sin sin
sin
2Rsin b
:sin c
sinC
2R
:sin C ;
a
sin
sinC
2RsinC；
c
一;
2R
b
sin
c
sinC
注意：正弦定理主要用来解决两类问题:
1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 （一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形 ABC中，已知a、b、A （A为锐角）求B。具体的做法是： 数形结合思想
画出图：法一：把 a扰着C点旋转，看所得轨迹以 当无交点则B无解、
AD有无交点:
当有一个交点则 B有一解、
当有两个交点则 B有两个解。
法二：是算出 CD=bsinA,看a的情况:
当a<bsinA ,则B无解
当bsinA<a < b,贝U B有两解
D
当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
c 1, . 1 , .八 1
S c bcsin absinC acsin
2 2 2
4、余弦定理：
C 中，有 a2 b2 c2 2bccos , b2
2 -
c 2accos
2 2 , 2
cab 2abcosC .
5、余弦定理的推论:
,222
b c a
cos
2bc
cos
2ac
cosC
2ab
（余弦定理主要解决的问题:
1、
已知两边和夹角，求其余的量。 2、已知三边求角）
#
C的对边,则:
6、如何判断三角形的形状：
设a、b、c是 C的角
①若 a2 b2 c2 ,则 C 90°;
②若 a2 b2 c2 ,则 C 90°;
③若 a2 b2 c2 ,则 C 90° .
7、正余弦定理的综合应用 ：
如图所示：隔河看两目标 A、B,
但不能到达，在岸边选取相距 J3千米的C、D两点，
并测得 / ACB=75, /BCD=45, /ADC=30, /ADB=45（A、B、C、D在同一平面内）,求两目标 A
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 垂心：三角形三边上的高相交于一点
练****题
一、选择题
1、在4ABC 中，a =10, B=60° ,C=45 °，则 c等于 （B ）
A. 10 .3 B, 10 ,3 1 C. . 3 1 D. 10, 3
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#
2、三角形的两边分别为
5和3,它们夹角的余弦是方程
5x2 7x 6 0的根，则三角形的另一边长为
A. 52
B. 2而 C. 16 D. 4
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#
3、在△ ABC中，若（a c）（a c） b（b c）,则 A （ C
A 900 B 600 C
1200 D 1500
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4、在^ ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （D ）
A. b = 10 , A = 45 ° , B = 70 ° B , a = 60 , c = 48 , B = 100
C. a = 7 , b = 5 , A = 80 ° D , a = 14 , b = 16 , A = 45 °
5、已知△ AB汕，a： b ： c=1 ： <3 : 2,则 A： B： C等于（A ）
A. 1 ： 2 ： 3 B, 2 ： 3 ： 1
C. 1 : 3: 2 D , 3: 1: 2 6、若△ ABC的周长等于20,面积是10、,3, A= 60。，则BC边的长是（ C ）
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A. 5
C. 7
D. 8
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、填空题（每题 5分，共25分）