文档介绍：第二章 矢量代数和矢量分析
在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量
大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张
量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主
要对具有给定标准正交坐标系 {o；i1，i2，i3}的Euclid矢量
空间进行讨论。
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矢量集合的运算
设r1，r2，r3是V的一组基底，由（-2）式可知x ∈V可
在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为：
其系数xi (i =1, 2, 3 )称为x在基底r1，r2，
r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x
在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的
加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2，
x3r3 ∈ V 的矢量和。由平行四边形法则
，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图
2－1）。
x 3
x 2
x 1
r 3
r 2
r 1
图2－1
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投影：
对a、b ∈V将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a
矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点
o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。
a
b
b
o
a
图2－2
注意：
a矢量的始点o指向a点与a矢量方向相反，其投影值为负 。
a矢量的始点o指向a点与a矢量方向一致，其投影值为正 。
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例1：
解：
给定二维矢量空间矢量x。试求在
给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2
中的坐标和投影。
x 1
x
x 2
X 2
X 1
r 2
r 1
o
(a)
X 1
x 1
x 2
X 2
x
i2
i1
(b)
图2－3
在r1，r2基底上按平行四边形法则
，可确定x的坐标为（x1， x2）。
按投影法则可的x在r1， r2上的投
影为X1，X2。或形式上记为（X1
，X2）。如图2－3（a）所示。
在i1，i2基底上，因 i1⊥ i2，所以平行
四边形法则所得四边形与投影法则所
得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2
）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形
式上相同。如图2－3（b）所示。
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设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与
数量的标量积按（-3）和（-4）定义，即对x，y ∈
V；α，β ∈F有
（-3）
（-2）
定义 x 与 y 的逆矢量（- y）的加法运算为 x 与 y 的减法
运算（ x 减 y 或 x 与 y 之差）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
同时长度为1的矢量称为单位矢量。
应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
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例2：
图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中
矢量a、 b。试求 2a +{o；i1， i2
}中的表示。
o
x 2
x 1
3
a
b
3
2
1
2
1
图2－4
解：
例3：
a
b
x 2
x 1
(a)
a
- b
x 2
x 1
(b)
a - b
- b
a
x 2
x 1
(c)
图2－5
如图2－5（a）所示给定矢
量a、b，根据平行四边形法
则用几何作图给出a－b矢量
的几何表示。
解：
见图2－5（b）（c）
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定义数量积
定义矢量积
定义混合积
其中δij称为Kronecker符号。
其中eijk称为Ricci置换符号。
（-4）
（-5）
（-6）
（-7）
（-8）
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Kronecker符号三维矢量空间 取值表：
Ricci置换符号三维矢量空间 取值表：
（-9）
（-11）
但应当特别注意的是：
（-10）
例4：
若i1，i2，i3是V的标准正交矢量。计算ii×ij (i , j = 1,2,3) 。
解：
综合以上各式可得：
（-12）
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证明矢量的叉积和混合积有以下结论：
例5：
1．
（-13）
2．
3．
4．
（-14）
（-15）
（-16）
证：
1．
2．
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3．
4．
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