文档介绍：矢量函数
在矢量代数中所涉及的矢量都是大小和方向保持不变（注
：零矢量的方向为任意的。但在矢量分析中仍将其作为一
特殊的常矢量）的常矢量。一旦矢量的大小或方向（或大
小和方向）随某一参数的不同取值（这里的参数取为实数
）而变化时，这样的矢量称为变矢量。由此引入矢量函数
的概念。
设t是实变参数，x是变矢量。如果t在确定的实数域中的每
一个值，都有确定变矢量x按确定的法则与之对应。则x与
t的对应法则：
x = x ( t )
（-1）
称为矢量函数。或称为x为实数自变量的矢量值函数。
实数自变量的取值域（实数域）称为定义域。与定义域的
每一个取值对应的矢量函数值集合称为矢量函数的值域。
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v 1
v 1
v b
v b
v a
v a
v 0
v 0
s 1
b
a
s 0
o
s
x 1
x 2
i 1
i 2
图2－9
矢量函数与实变函数论中的函数一个重要的区别是：
实变函数的每一个自变量的取值对应着唯一函数值；矢量
的每一个自变量的取值对应着唯一的按平行性确定的自由
矢量类（自变量的每一个取值对应着具有唯一大小和方向
的所有相互平行的自由矢量）。
正是由于矢量函数的这一特点使得矢量函
数x(t)的变化状态能够用几何图形表示。
如质点在平面上沿曲线s以大小
度沿曲线s的切线方向从 s0 运动至 s1（见图
2－9）。以时间t作为参数。质点的速度矢
量作为时间t的函数为
的速
图2－9给出了
时的
四个矢量。
于这四个矢量都是自由矢量，且
个矢量的起点按平行性移至 o点。显然这四个位置矢量描
述了
。将这四
四个时刻的速度矢量。
由
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当参数t由t0到t1连续变化时，v(t)的每一个取值所对应（按
平行性）位置矢量的终点在 x1o x2平面内描绘一条曲线——
矢端曲线。矢端曲线也称为矢量函数的图形。
更一般地有：对矢量函数 x(t)的终点所描绘的曲线称为矢
端曲线或称为 x(t)的图形。而（-1）式称为矢量方程。
例12：
已知小球在四分之一圆弧轨道中运动。圆弧
轨道半径R=50cm，小球运动速度的大小
o
x 2
x 1
v ( φ )
φ
φ
图2－10
。试求小球速度矢量方程；并在图
解：
以上各 φ值对应的v，将起点移至（按平行性）o点所得
矢端曲线如图所示。
中画出小球速度的矢端曲线。
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给定的标准正交坐标系{o；i1，i2，i3}：
位置矢量r处的自由矢量x在A点基底i1，i2上的坐标与将x
平移至o点的矢量的坐标相同。
当x是某一参数t的矢量函数时，对任意给定的t值，x(t)就
是{o；i1，i2，i3}坐标系中的确定自由矢量。且：
（-2）
式中 x1(t), x2(t), x3(t)是参数t取给定值时 x(t)自由矢量在基
底i1，i2，i3上的坐标。图2－11给出二维矢量空间的示意。
o
r
x
x 2
x 1
i 2
i 2
i 1
i 1
图2－11
（-2）式中的x1(t), x2(t), x3(t)称为矢量
x (t)的参数方程。参数方程在{o；i1，i2，
i3}中描绘的曲线正是矢端曲线。
对依赖多个参数变化的矢量，类似式（-1）
和（-2）可定义多参数变量的矢量函数。设
矢量x依赖参数
。则：
（-3）
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（-4）
称为多参数变量矢量函数的矢量方程。
称为多参数变量矢量函数的参数方
程。参数方程在 {o；i1，i2，i3} 中描绘的曲线称为矢端曲
线（面）。
具有一个参数的矢量函数矢端曲线（二维映射分析）：
设x = x (t) , b≤t≤a。在平面坐标系{o；i1，i2}中，矢量x
随t的变化，且：
x 1
x 2
x 1 ( t * )
x 2 ( t * )
t *
a
0
b
o
i 1
i 2
图2－12
x完全由x1(t), x2(t)的变化确定。
对t的每一个给定值t = t * (b≤
t*≤a)，由 x1(t), x2(t)在i1，i2 坐
标轴上确定两个点。其坐标值为
（如图2－12所示）。
同时在坐标系{o；i1，i2 }中
坐标确定一点A*。位置矢量
，b]区间的不同取值x (t)位置矢量平面描绘一条曲线。
显然随t在[a
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对矢量函数：
o
x 1
x 2
t 2
t 1
o
B 1
B 2
A 2
A 1
b 2
b 1
a 2
a 1
图2-13
当t2 = b2 时：
由于b2是一固定