多分辨率分析与正交小波变换PPT学习教案.pptx

文档介绍：会计学
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多分辨率分析与正交小波变换
概述
多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示—将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。更重要的是，多分辨率能够提供一种构造小波的统一框架，并且能够提供函数分解与重构的快速算法。
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本章主要内容
多分辨率分析
尺度函数和小波函数
二尺度方程及多分辨率滤波器组
二进正交小波变换的Mallat算法
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多分辨率分析
定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。
基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波空间。
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性质
尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系：
将Vj，Vj－1相关联的关键性质是：
，Vj+1之间的差，即
，它捕捉Vj+1逼近Vj时丢失的信息。
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比喻
类似于人的视觉系统。例如：人在观察某一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨率j下获得的信息更加丰富，即 ，分辨率越高，距离越近；反之，则相反。
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在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼近待分析函数f(t)。
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补充：直和
设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子空间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则称E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：
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我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间：
j是从-∞到+∞的整数，j值越小空间越大。
如，当j＝4时，
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空间的剖分是完整的，即当j－>-∞，Vj－>L2（R），包含整个平方可积的实变函数空间。
当j－>+∞，Vj－> 0，即空间最终剖分到空集为止。
这种剖分方式使得空间Vj与空间Wj正交，各个Wj之间也正交，即：
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