文档介绍：会计学
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夜大高数D专升本常
2<br****题 7 — 5 (第 191 页)
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第八章 微分方程
一、 微分方程的基本概念
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(一)引例
解:
设曲线方程 y = y(x),
由题意
且满足
由
例1.
已知一曲线通过点 (1, 2), 且在该曲线上
任一点M(x, y)处的切线斜率为其横坐标的 2 倍,
求这曲线方程.
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例2.
只在重力下(不计空气阻力), 一质量为 m 的
质点自由下落, 求质点运动的规律
(位置与时间的
解:
设物体下落的铅垂线为 x 轴, 向下为正,
点 o 为质点运动的起点,
由牛顿第二定律
F = ma,
(a — 加速度, F — 作用力)
质点只受重力作用
F = mg
关系).
x
o
则 x = x(t).
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对 t 两次积分：
由初始时刻 t = 0, 质点的初始位置 x = 0 及初
始速度为 0, 即
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(二)基本概念
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之
说明：
1. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,
方程中可以不出现自变量 x 与未知函数 y,
数或微分必须出现.
未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程,
如
但 y 的导
定义:
间关系的方程, 称为微分方程. 其一般形式：
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2. 方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数, 称为微分方程的阶.
如: 例1 为一阶, 例2 为二阶.
3. 能使方程成为恒等式的函数, 称为微分方程的解. 特别地：
(1) 带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立)
n 阶方程的通解的一般形式：
的解称为微分方程的通解.
(2) 确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解.
请同学们讨论：<br****题8-2 (第206页) 1
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4.
由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条
件称为初始条件.
初始条件个数 = 通解中任意常数个数 = 方程阶数
如:
求微分方程满足初始条件的特解问题, 称为微分方程的初值问题, 形式为：
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