广州大学高数高数PPT学习教案.pptx

文档介绍：会计学
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广州大学高数高数
一、引例.
1. 变速直线运动的瞬时速度.
设某物体作变速直线运动，其位移S与时间t的函数关系为S = S(t). 问：在任一时刻t0的速度应当怎样定义？
匀速直线运动：
第一节 导 数 的 定 义
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由时刻t0到时刻 t0+t 走过的位移为
若当t0时，平均速度
的极限存在.
则称该极限值为该物体在t0时刻的瞬时速度.
即
变速直线运动：
S
S(t0+ t)
S(t0)
0
S
考虑时刻t0附近的某时刻t0+t
平均速度：
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2. 曲线的切线斜率
设曲线方程为y=f (x). 问: 怎样求曲线上任一点的切线斜率.
曲线的切线：
对于曲线C上任一点M，考虑其附近一点N.(N可在M的左侧，也可在M的右侧).让点N沿曲线C趋向点M，若割线MN有极限位置MT. 则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

T
y=f (x)
M
x
x0
x0+x
x
y
0
N

C
y0+y
y0
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记点M的坐标为(x0,y0); 点N的坐标为(x0+x, y0+y).
注意到y0=f (x0), y=f (x0+ x)f (x0)
则割线 MN 的斜率,
(为割线MN的倾角).
(为切线MT 的倾角).
所以
当N沿曲线C趋向M时，
此时, 割线MN
的斜率 无限地接近于切线MT的斜率k.
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3. 非均匀细杆的线密度.
设有一根质量不均匀的细杆，取坐标系如图，其一端点为坐标原点，另一端点为杆长l, 对于[0, l ]上的任一点x, 在[0, x]上的质量是x的函数，记为m=m(x).
所以在
上的质量为
称
为细杆在
上的平均线密度.
x
0
x
x+x
l
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当
若
的极限存在，则称该极限值
为细杆在点x处的线密度.
即：
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二、导数的定义
设函数y=f (x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 当自变量x在x0处有增量x(点x0+xU(x0))时，相应的函数有增量y=f (x0+ x)f (x0);如果, y与 x之比，当x0时的极限存在，则称函数y=f (x)在点x0处可导. 并称这个极限值为函数y=f (x)有点x0处的导数, 记为
也可记作
即
(1)
定义1.
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导数定义式(1)的不同形式：
(2)
和
(3)
(记x=x0+x)
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注1：若
不存在，则称函数y=f (x)在点x0
处不可导.
特别地，若
也称函数y=f (x)
在点x0处的导数为无穷大.
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