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对称式与轮换对称式修订稿.docx

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对称式与轮换对称式修订稿.docx

上传人:井平 2021/6/14 文件大小:1.35 MB

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对称式与轮换对称式修订稿.docx

文档介绍

文档介绍:WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-WEIHUA1688】
对称式与轮换对称式
竞赛专题-------对称式与轮换对称式
基本概念
【定义1】一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,即对于任意的(),都有
那么,就称这个代数式为元对称式,简称对称式。
例如,都是对称式。
如果元对称式是一个多项式,那么称这个代数式为元对称多项式。
由定义1知,在对称式中,必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如,在对称多项式中,若有项,则必有项;若有项,则必有,项,这些项叫做对称式的同形项,同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义,可以写出含个字母的对称多项式的一般形式,例如,含有三个字母的二次对称多项式的般形式是:
【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数,那么称这个多项式为元次齐次多项式。
由定义2知,元多项式是次齐次多项式,当且仅当对任意实数有

例如,含三个字母的三元三次齐对称式为:

【定义3】一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式均改变符号,即对于任意的,都有
那么就称这个代数式为元交代式。
例如,均是交代式。
【定义4】如果一个交代数式,如果将字母以代,代代代后代数式不变,即
那么称这个代数式为元轮换对称式,简称轮换式。
显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如,是对称式也是轮换式;是轮换式,但不是对称式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:
(1)两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;
(2)两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;
(3)同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;
(4)两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式;
(5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。
… … …
… … …
例如,二元基本对称多项式是指,
三元基本对称式是指
当你学完了高等代数的时候就会知道,任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。
2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
为了初中学生学****的需要,我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形,对于多元的情形,只需作类似的处理即可。
下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
(1)若是对称式,则在解题中可设。(为什么)
(2)若是对称式,则当满足性质时,也满足性质。
(3)若是轮换式,则在解题中可设最大(小),但不能设。(为什么)
(4)若是轮换式,且满足性质,则也满足性质。
(5)若是交代多项式,则是的因式,即其中是对称式。

其中是对称式。
在利用对称式作因式分解时,齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式,齐次交代多项式是常用的。
齐次对称多项式的一般形式:
(1)二元齐次对称多项式
一次:,