全等三角形拓展题---尖子生专用.docx

文档介绍：全等三角形拓展题---尖子生专用
全等三角形综合应用
知识点：
全等三角形的判定方法：
角平分线的性质与判定：
例题讲解
2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF
(1) ① 如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数
② 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由
(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系

解：(1) ① ∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α
∵AB＝AC，AD是△ABC的中线
∴设∠BAD＝∠CAD＝β
又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°
∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°
∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°
② 过点C作CH⊥BE于H
∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°
∴∠BAD＝∠HEC
可证：△ABD≌△EHC（AAS）
∴HE＝AD
易证：△CFH≌△CFD（AAS）
∴FH＝DF
∴EF－FH＝AF－DF
即EF－AF＝2DF
(3) 作图、证明的过程一样
AF－EF＝2DF
2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN
(1) 求证：AM＝BN
(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长
∴△BAH≌△ACM（ASA）
∴BH＝AM＝1
∴BM＝HC
∵MH⊥BC，∠MBH＝60°
∴BM＝2BH＝2
∴CH＝2
2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F
(1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长
(2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论

．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β
在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°
连接BF
∴∠BFD＝∠CFD＝60°
∴BF＝CF＝2DF＝6
在EC上截取EG＝CF，连接AG
∴△AEG≌△ACF（SAS）
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF
∴∠GAF＝60°
∴△AFG为等边三角形
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16
(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边
设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β
∴∠CAE＝180°－2β
∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°
∴∠BAD＝∠BEF
在AF上截取AG＝EF，连接BG
可知：△ABG≌△EBF（SAS）
∴AG＝EF，BG＝BF
∴△BFG为等边三角形
∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF
武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC
(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）
(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明
(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值

例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（ ）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C
（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，
画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
SSS B、SAS C、AAS D、ASA