文档介绍：
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19.-二次型化为标准形的方法。作者：。指导教师：赛都拉-评价：中
编号
SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT 11 MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT 1
学士学位论文
二次型化为标准形的方法
学生姓名： 布阿依仙木．买买提
学 号： 20060101028
系 部： 数学系
专 业： 数学与应用数学
年 级： 2006—1班
指导教师： 木也赛尔．赛都拉
完成日期： 2011 年 5 月 8 日
学 士 学 位 论 文
BACHELOR ’S THESIS
摘要
在本论文中主要介绍了二次型，把二次型化为标准形的四种方法。
关键词：非退化；特征值与特征向量；正交化与单位化；合同
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引言
我们以前在高等代数里面学过了二次型化为标准形的方法。二次型化为标准形有配方法，正交变换法，初等变换法和雅可比方法等四种方法。它们分散在各种资料。这些方法各有各的特点，根据已知二次型的特点选择适当的方法可以减少运算量。
我在本论文中主要介绍了配方法，正交变换法，初等变换法，雅可比方法等四种方法。
元二次型
含有个变量的二次齐次函数
称为元二次型，简称二次型。当系数是实数时，称为实二次型；当是复数时，称为复二次型，其中
在函数中记，则 =，，于是函数可写成
由式，利用矩阵二次型可表示为
若记，
则二次型可表示为矩阵形式：，其中，
任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵也可唯一确定一个二次型。这样，实二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系，因此，我们把对称矩阵A叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵A的二次型。对称矩阵A的秩就叫做二次型的秩。
二次型的标准型
只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形，其中，
线性变换
设两组变量与之间有关系式
若记
则关系式可表示为称之为由到的线性变换，称为变换矩阵。若C是正交矩阵，则线性变换X=CY称为正交线性变换。当系数行列式，称上述线性变换为非退化的（可逆的）线性变换。否则称之为退化的。
对于一实元二次型通过配方的方法，将二次型化为仅有平方和的形式，其中且。
用配方法把二次型化为标准型的一般步骤：
（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项合在一起，然后配方；接着再对其余的变量进行同样过程，直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形。
（2）若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按步骤（1）配方。
例 1 用配方法化二次型为标准形，并求所作的可逆线性变换。
解： 由于含有的平方项，配方可得：
令
就把化为标准形：
就是所作的可逆线性变换。
例2 用配方法化为二次型为标准形，并求所作的非退化线性变换。
解： 因为二次型中没有平方项，无法配方，所以先作一个非退化线性变换，使其出现平方项，根据利用平方差公式，
令 （1）
将（1）式代入二次型，得
先对含有的项配完全平方，然