文档介绍：华南理工大学 2001 年数学分析考研试题
一．解答下列各题
i sin 2 x
lim ；
x cos x − → 0 sin 1 x + x
1
− 2 2
2 2. 证明不等式 e dx e < 2 e 4 < x x − 2 ；
∫ 0
∞ 1
∑ 的敛散性；
n = 2 ! ln (n )
⎧ 1
0 , x ≥
⎪ x + 1 2
4. 设 x f ( ) = ⎨ ，求 dx x f ( − 1 ) ；
e x ∫ 0
⎪ 0 , x <
⎩ ⎪ 1 + e x
⎞ e d ⎛ x − 1 ∞ n
⎟ ⎜ 为 x 的幂级数，求出它的收敛区间，并求级数 ∑ 的和。
⎠ x dx ⎝ n = 1 ( n + 1 ! )
⎧ 1
≠ y x 0,0 y 2 , x , 2 + sin ( ) ( )
⎪ ( ) 2 2
y x f ( , ) = ⎨ y x + 的偏导数，并讨论在点 ( 0,0 )
⎪
,,00 0,0 , ⎩ 0, ( y x )= ( )
处的偏导数的连续性及 y x f ( , )的可微性.
二．设 x f ( )在有限的开区间 (a b , )内可微，且 x f ′ ( )有界，
证明 x f ( )在 (a b , )内有界.
三．设方程 e x = u cos θ ， e y = u sin θ ，定义 u , θ 都为 y x , 的函数，
∂ ∂ ∂ u ∂ u θ θ
（ 1)求 , , , ；
∂ y ∂ x ∂ y ∂ x
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 θ ∂ 2 θ
（2)证明 = + 0 ， = + 0 .
∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 2
+ + 四．计 + 算 xzdydz I yzdzdx dxdyy = ∫ x z 2 2 其中 ∑ 为 2 a 球面 2 z y 2 = x + 2 + 和
∑
2 a 2 z y 2 = x + 2 + 4 ，锥面 y x + z = 2 2 所围成的立体表面的外侧.
− dx y + x dy y (x + 4 ) ( )
五．计算 I = ，其中 C 为单位圆的正向，不过坐标原点.
∫ 2 2
C y x + 4
1
x
t六． dt t 设 x f ( )= ， (x ≥ − 1 )，求曲线 x f y = ( )与 x 轴的交点，并求 x f y = ( )与
∫ − 1
x 轴所围成的封闭图形的面积.
∞
七．证明 x ∑ x n (1 − )2 在[ 0,1 ]上一致收敛
n = 1