文档介绍：函数的奇偶性
授课人：王秀芹
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观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？
x
o
g(x)=x2
y
关于y轴成轴对称
o
x
y
关于原点成中心对称
观察函数f(x)= 的图象，
看看它具有怎样的对称性？
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关于原点成中心对称
观察函数f(x)= 的图象，
看看它具有怎样的对称性？
x
y
o
……
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观察函数g(x)=x2的图象，看看它具有怎样的对称性？
x
o
g(x)=x2
y
关于y轴成轴对称
由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值，并思考g(-x) 与g(x)有怎样的关系？
g(-1)= (-1)2=1
g(1) =12=1
g(-2)= (-2)2=4、
g(-3)= (-3)2=9、
g(3) = 32 =9、
g(-x) =(-x)2=x2=g(x)
函数 g(x)=x2 为偶函数
……
g(2)= 22=4、
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定义：
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，
都有f(-x) = - f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数
注意：(1)当X∈A时, - X ∈A(定义域关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x，
都有f(-x) =f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(2)f(-x) = - f(x)
注意：(1)当 X∈A时,-X ∈A (定义域关于原点对称）
(2)f(-x) = f(x)
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函数是奇函数
结论：
函数是偶函数
函数图象关于坐标原点对称
函数图象关于y轴对称
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例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0
解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，
又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5
当X∈R时, - X ∈R
＝ －x－x3－x5
＝ －（x+x3+x5 ）
＝－ f(x)
所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。
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所以，函数f(x)= x2+1是偶函数
又因为f(－x)= （－x）2+1
解：（２）函数f(x)= x2+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R
= x2+1
＝ f(x)
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0
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例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0
解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R
又因为f(－x)=（－x）+1
＝ －（x－1）
而－f(x)= － x － 1
所以f(－x) ≠ －f(x)且f(－x) ≠ f(x)
因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数。
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解4） 因为２∈［－１，２］，而－２ ［－１，２］
所以函数f(x)= x2 ，x∈［－１，２］既不是奇函数也不是偶函数。
例 、判断下列函数的奇偶性：
（1） f(x)=x+x3+x5； （2） f(x)=x2+1；
（3） f(x)=x+1 ； （4） f(x)=x2 ，x∈［－１，２］
（5） f(x)=0
5）函数f(x)= 0的定义域为Ｒ，
当X∈R时, - X ∈R
又因为f(－x)= 0， f(－x)= 0
所以f(－x) = －f(x)且f(－x) = f(x)
因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。
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