文档介绍：2006年第12期 #
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数学竞赛中的条件最值问题
江厚利
（安儆省安庆市第一中学246003）
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved,
2006年第12期 #
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2006年第12期 #
（本讲适合高中）
条件最值问题是数学竞赛中的热点之 ，且技巧性 值的常用方法和技巧.
在求条件最值时,利用数形结合的思想 方法,由数想形，直观转化,有时容易奏效.
1已知。"是正实数，方程
x2 + + 2〃 = 0 与 x2 + 2/zv + a =0
/ +始的最小值.
:由于所给方程均有实根，故得约束 条件
J・8〃 M）, ①
, - a 汽）， ②
、a>0»>0. ③
求J +南的最小值,用代数方法显然比 较棘手，于是，考虑数形转化.
如图1 ,作出抛物线J =8〃（a>0）的右 产
y= a（〃>0）的上半 /
支，两图像交点为 _
M（4,2）.于是，满足 飞
式。^③的点 P（a,b）在图1所示 图।
的阴影区域G（含边界）上.
而a + b2表示点P（a ,b）与原点。的 距离的平方，易知，当a=4,b = 2时，
（n" + A*） nin = I OM\ " - 20.
收稿日期2006 - 03 - 08修回日期:2006-10-10
先将所给函数表达式（或隐函数方程）配 成若干个平方式及一些常数的代数和的形 式燃后再求最值.
2 试求函数 / （ x , y） = 6 （ ,v2 + y2） （*十y）・4 （/ +町+产）.3 （ x+），）十5在 区域力=｛（x ,y（ * >0 ,y >0｝上的最小值.
:若 x + y ,则
故〃x,y)
=6(x3 + y3) + 6xy(x + y) - 4xy -
4(x2 + y2) - 3 (x + y) + 5
=6 xy - "" (x + y - 1) + (6x + 1) 4
1 2 1 2
x- - + (6y + l) y- - +
x J) K J)
(x+ y- I)2 +2
>2.
当且仅当a = y =5时，上式等号成立.
若x + y > 1 ,则
x2 + y y）2
故 f（x，N）
二（,+y-+（X+ y・ 1）+2（.1）丁+2 >2.
综上所述,对任意（x,y） CA,有
f（x,y） N
当且仅当x = y = 3时…2.
注:
分解法结合使用.
3
先将多元函数转化为