复变函数练习题习题.docx

文档介绍：Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数练****题****题<br****题
1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.
（1）
解：
（4）
解：
（6）
解：
（8）
解：被积函数有6个奇点，只有在圆的内部，于是函数在闭圆域上解析，则由Cauchy积分公式得
，然后利用圆周的参数方程证明下面积分
（1）解：函数的奇点在积分路径的内部，而函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分公式得
（2）证明：圆周的参数方程为，在它上有于是
比较等式两边的虚部得
又
所以

（2）
解：对u求偏导数有
解法1：由Cauchy-Riemann条件得
对第一式两边对x积分得
两边对y求导，并且与上面所得比较有
于是得即其中c为任意实常数.
从而
，
即由于代入上式得所以
解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得
于是
其中c为任意实常数.
由于代入上式得所以
（4）
解：对v求偏导数有
解法1：由Cauchy-Riemann条件得
对第二式两边对y积分得
两边对x求导，并且与上面所得比较有
于是得即其中c为任意实常数.
从而
，
即
，
由于代入上式得所以
解法2：由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得
于是
其中c为任意实常数.
由于代入上式得所以
，试证：
（1）若在C上及其内部处处不为零，则有