文档介绍：第五章二次型二次型及其矩阵表示标准形唯一性正定二次型§1 , 是变量, 元二次齐次多项式 P 1 , , n x x ?n 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x ? ? ??? ????? ?? ?称为数域上的一个元二次型,简称二次型. P n 2 1 1 1 2 n n n ii i ij i j i i j i a x a x x ? ???? ?? ??例1 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , , , ) 2 2 f x x x x x x x x x x x x ? ? ????注: , , 1, 2, , ij a P i j n ? ??§1 , 1 2 1 1 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x ? ?????由矩阵乘法[] 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , nn n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ???? ?????轾 轾犏 犏犏 犏犏 犏= 犏 犏犏 犏犏 犏犏 犏臌 臌 ij ji i j a a x x ? ?, , 1, 2, , i j i j n ? ??令系数的一半, 2 ii i a x ? 1, 2, , i n ??则简记' 1 2 ( , , , ) , n ij n n X x x x A a ?? ?? ?? ??', f X AX ?§1 二次型及其矩阵表示例2 写出下列二次型的矩阵表示 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1. ( , , , ) 2 2 f x x x x x x x x x x x x ? ? ????[] 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 2 2. ( , , ) , , 0 3 3 8 1 5 x f x x x x x x x x 轾 轾- - 犏 犏犏 犏= - 犏 犏犏 犏- 臌 臌解2: 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 6 3 4 5 f x x x x x x x x x ? ? ???? 1 1 2 3 2 3 1 1 3 , , 1 3 2 3 2 5 x x x x x x ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?§1 二次型及其矩阵表示' f X AX ?注2:二次型与对称矩阵相互唯一确定. A 注1:矩阵为上的对称矩阵, . AP ' A A ?注3:若矩阵不对称,则的对称矩阵为 B ' f X BX ?'2 B B ?,关系式 1 1 , , ; , , n n x x y y ? ? 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2