文档介绍：§ 变化率与导数、导数的计算
第三编 导数及其应用
要点梳理
=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ，
若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .
基础知识 自主学****br/>=f（x）在x=x0处的导数
（1）定义
称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
= 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，
即f′(x0)= = .
（2）几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .
(x0,f(x0))
切线的斜率
y-y0=f′(x0)(x-x0)
(x)的导函数
称函数f′(x)= 为f（x）的导函
数，导函数有时也记作y′.
cos x
0
-sin x
axln a(a＞0)
nxn-1
ex
（1）［f（x）±g(x)］′= ;
(2)［f(x)·g(x)］′= ;
(3) ′= (g(x)≠0).
(a＞0,且a≠1)
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
基础自测
=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点
（1+Δx，2+Δy），则 为 （ ）
+ +2 - -2
+2 +Δx-
解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
∴ =Δx+2.
C
=sin x在x=0和x= 附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ）
＞k2 ＜k2
=k2
解析 ∵y=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x,
k1=cos 0=1，k2=cos =0，∴k1＞k2.
A
=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ）
=3x-4 =-3x+2
=-4x+3 =4x-5
解析 由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.
B
=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （ ）
(b)＞bf(a) (a)＞bf(b)
(a)＜bf(b) (b)＜bf(a)
解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,
∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).
B
：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0， ]，则点P横坐标的取值范围为 （ ）
A. B.［-1，0］
C.［0，1］ D.
解析 ∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.
∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是
[0, ],
∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.
∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤ .
A
题型一 利用导数的定义求函数的导数
【例1】求函数y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化
率.
紧扣定义 进行
计算.
解
思维启迪
题型分类 深度剖析