文档介绍：巧构几何图形解代数题
唐明友
数是形的抽象概括,形是数的直观表现,数形结合是数学解题的重要手段之一。在数学竞赛中常有一些代数问题如果用代数方法去思考,或很繁琐,或无从下手,这时需要转换角度,通过巧妙构造几何图形,使问题柳暗花明,达到化繁为简、化难为易的目的,起到事半功倍的效果。
+取最小值时,相应的x的取值范围是什么?
分析与解:本题可把变量分x<-1、-1≤x≤2、x<2三种情形讨论求解,这种方法比较麻烦。根据绝对值的几何意义,、在数轴上表示线段AX、BX的长。现在对于代数式+要取最小值,从几何意义上理解就是在数轴上找一点X,使点X到A、B两点距离的和最小。
显然,只有当点X在线段AB上时,AX+BX才能取得最小值,
而AB==3,所以x的取值范围是:-1≤x≤2
说明:一些含有绝对值的方程、不等式、最值问题均可考虑构造数轴解之。本题还可通过分类讨论画出分段函数图象解,留给同学们去完成。
,方程=a无解、有二解、三解、四解?
分析和解:这是含有绝对值符号的二次方程。如果去掉绝对值,再利用判别式来考察,必然很繁。如果令y=,y=a,这两个函数的图像容易作出,而要确定方程=a的解的个数,从图形上看,就是确定直线y=a和曲线y=的交点的个数。
由此立即可以得出:
当a<0时,方程无解;
当a=0及a>1时,方程有两个实数解;
当a=1时,方程有3个实数解;
当0<a<1时,方程有4个实数解。
说明:在画函数y 的图像时,先画出二次函数y=x-4x+3的图像,
再将x轴下面部分沿x轴对称到x轴上面来即可。
+的最小值。
分析和解:两个根号下均可看成平方和的形式,可联想勾股定理,从而构造如图所示的直角三角形。设线段AC=12,作AB⊥AC于A,CD⊥AC于C,且AB=2,CD=3,又设P为AC上一动点,PA=x,则PC=12-x,
由勾股定理可得PB+PD=+,问题转化为
求PB+PD的最小值。
作点B关于AC的对称点B,连接BD交AC于P,此时
PB+PD最小,
在Rt△BDE中,PB+PD=BD==13
所以原代数式的最小值为13。
说明:本题亦能构造平面直角坐标系,求代数式的最小值,相当于要在x轴上求一点(a,0),使它到(2,0)和(12,3)这两点的距离的和最短,请同学们自己去思考。
:a、b、c、m、n、p均为正数,且满足a+m=b+n=c+p=:an+bp+cm<k。
分析和解:由已知条件很容易想到构造边长为k的等边△ABC如图所示。
又根据结论截出点D、E、F,三角形三边是a+m、b+n、c+p,则a+m=b+n=c+p=k。
再用S、S、S表示周围的三个三角形,从而有
S+S+S=ansin60+cmsin60+bpsin60
=( an+bp+cm)
而S=ksin60=k
由构图显然得S+S+S< S
∴( an+bp+cm)< k ,即an+bp+cm<k。
说明:本题还能构造正方形解,同学们不妨一试。
:++++…
分析和解:无限个分数相加,直接计算是肯定无法得出
具体结果的。