文档介绍：向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作 =a, =b,则 叫做向量a与b的夹角
当 时，a与b ＿＿；
当 时，a与b＿＿；
当 时，a与b＿＿，记作
反向
同向
垂直
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如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
位移S
O
A
问题情境
θ
F
F
θ
S
W=│F││S│COSθ
F是___量，S是___量，W是___量，
矢
矢
标
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思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。
（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们 把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积） 记作 即 并规定
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│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
（1）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？
O
A
B
（2）
a
b
O
A
B
（3）
a
b
a
b
A
O
过b的终点B作OA＝a的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =│b│COSθ
投影是向量吗
投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。
时│b│COSθ＝＿＿
时│b│COSθ＝＿＿
时│b│COSθ＝＿＿
－│b│
│b│
0
B
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数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积
a•b的几何意义：
2、向量数量积的几何意义
a•b=│a││b│COSθ
a
b
θ
O
B
OB＝ │b│COSθ
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3、向量数量积的性质
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e•a=__________;a•e=_________
(2)a b____a•b=0
(3)当a与b同向时，a•b=________
当a与b异向时，a•b=___________
a•a=________=
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos ＝
______
│a│COSθ
│a│COSθ
│a││b│
-│a││b│
a•b=│a││b│COSθ
e•a=a•e
=│a│COSθ
性质4
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a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ ）
（2）若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
( )
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0 （ ）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0 （ ）
（5）对任意向量a有 （ ）
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c （ ）
4、反馈练****判断正误
a²=|a|²
×
×
×
×
√
√
向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的
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5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
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例题
进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又
要根据两个向量方向确定其夹角
a•b=│a││b│COSθ
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24
135°
钝角
直角
0
－20
a•b=│a││b│COSθ
6、课时作业：
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ ，求a和b的夹角
3、已知 中，AB＝a，AC＝b
当a•b<0时，