文档介绍：第-章， 擅动方程
i 1 oÊ解最件
1. 细杆 (ãt~理黄)莹某种外界原因而产生纵向据动，以 u 帆，t) 表示静止时在 X 点处的点
在时割 t 离开原来位置的偏事?假设据动过程发生的张力腼从虎克定律，试证明 u(x ， t) 满足
方程
日 /IIll-t\ ω-a飞 日 /FI--\h-h \ttttJ/
rbv 1llIF/
-a p -b E
其中 p 为杆的密度 ， E 为杨氏模量。
证 z 在抨上任取-段，冥中两端于静止时的坐悻分别为 x 与 x+ ðJ户目现在计算这段轩
在时剖 t 的相对伸长。在时量。 t 这段杆两端的坐悻分别为 z
x + u(x,t);x + Ax + u(x + Ax,t)
[x+åx+u(x+åx~t )] - [x + u(x~t)] - åx
其相对伸长等于 = (x+ θ缸~t)
Ax
令 Ax→ 0 ，取极限得在点 x 的相对伸长为 U x 怡 ， 1) 。由虎克Æ:律，张力 T(x ， t) 等于
T(x,t) =E(x)ux (x,t)
其中 E(x) 是在点 x 的榻氏模量。
设杆的横截面面朝为 S(叶，则作用在杆段 (x ， x+ Ax) 两端的力分别为
E(x)S(x)ux (x ， t);E(x 十 åx)S(x 十 åx)u A" (x + &,1).
于是得运动方程 p(x)s(x) .Ax -utt (x,t) = ESu x (x+ Ax) Ix+ Ax -ESux(x) Ix
利用做分中值定理， j 肖去 åx ， 再寺 åx → 0 得
p(X)S(x)Utt = 主 (ESu x )
口X
若 s(x) = 常量，贝 IJ 得
ð 2u ð ~ _ ~ ~ ðu
p(x) ~ ~~ =一 (E(x) 一)
ðt l. ðx' ,. , ðx
即得 pJj证。
2.. 在杆纵向据动时，假设 (1)端点固定， (2)端点自由啻 (3)端点固定在弹性主承上，试
分别导出这三种情况下所对应的边界条件 E
解: (1)杆的两端被固定在 x= Û, X= 1 雨点则相应的边界条件为
1
u(O,t) = O~u(l~t) = o.
8u
(2) 若 x=l 为自由端， J! IJ 杆在 x 斗的张力 T(l ， t) = E(x) 一 I x;;;;1 等于零，因此相应
8x
的边界条件为