文档介绍：泊松方程和拉普拉斯方程
静态场中的麦克斯韦方程组
对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间t无关。因此 ，静态场的麦克斯韦方程组为：
电流连续性方程为：
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由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。
1、静电场的基本方程
静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为
上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。
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另外：电介质的物态方程为
静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即
2、恒定电场的基本方程
载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。
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若一闭合路径经过电源，则：
即电场强度 的线积分等于电源的电动势
若闭合路径不经过电源，则：
这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为
从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。
另外：导体中的物态方程为
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3、恒定磁场的基本方程
这是恒定磁场的基本方程。
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，电流线是闭合的。
另外：磁介质中的物态方程为
恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为I，电流密度为 ,则有
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静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数 的梯度来表示它:
泊松方程和拉普拉斯方程
1、静电场的位函数分布
即
式中的标量函数 称为电位函数。
所以有
对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数,
即
静电场的位函数 满足的方程。
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上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为 泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：
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在直角坐标系中
在圆柱坐标系中
在球坐标系中
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2、恒定电场的位函数分布
根据电流连续性方程 及物态方程 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
则有
在无源区域，恒定电场是一个位场，即有
这时同样可以引入一个标量位函数 使得
这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。
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3、恒定磁场的位函数分布
人为规定
(1) 磁场的矢量位函数
这个规定被称为库仑规范
于是有
此式即为矢量磁位的泊松方程。
恒定磁场是有旋场，即 ,但它却是无散场，
即
引入一个矢量磁位 后，由于 ，可得
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