文档介绍：第二十章 主成分分析与因子分析
第一节主成分分析
主成分分析（principal components analysis）也称主分量分析，于 1901年由Pearson首先引入，1933年由Hotelling作了进一步的发展。 主成分分析是从多个数值变量（指标）之间的相互关系入手，利用降 维的思想，将多个变量（指标）化为少数几个互不相关的综合变量（指 标）的统计方法。本节主要介绍主成分分析的基本理论和方法，并结 合实例讨论其在医学研究中的应用。
一、主成分分析的基本思想
在医学研究中，为了客观、全面地分析问题，常要记录多个观察 指标并考虑众多的影响因素，这样的数据虽然可以提供丰富的信息， 但同时也使得数据的分析工作更趋复杂化。例如，在儿童生长发育的 评价中，收集到的数据包括每一儿童的身高、体重、胸围、头围、坐 高、肺活量等十多个指标。怎样利用这类多指标的数据对每一儿童的 生长发育水平作出正确的评价？如果仅用其中任一指标来作评价，其 结论显然是片面的，而且不能充分利用已有的数据信息。如果分别利 用每一指标进行评价，然后再综合各指标评价的结论，这样做一是可 能会出现各指标评价的结论不一致，甚至相互冲突，从而给最后的综 合评价带来困难；二是工作量明显增大，不利于进一步的统计分析。 事实上，在实际工作中，所涉及到的众多指标之间经常是有相互联系 和影响的，从这一点出发，通过对原始指标相互关系的研究，找出少 数几个综合指标，这些综合指标是原始指标的线性组合，它既保留了 原始指标的主要信息，且又互不相关。这样一种从众多原始指标之间 相互关系入手，寻找少数综合指标以概括原始指标信息的多元统计方 法称为主成分分析。
二、主成分分析的数学模型及几何意义
（一）主成分的数学模型
设有m个指标％, X2，…,，欲寻找可以概括这m个指标主要信息
的综合指标Z|,Z2，...,Z,“。从数学上讲，就是寻找一组常数 atl, ai2, = 使这彻个指标的线性组合：
Z] =4]X] +al2X2 +■■■ + almXm
Z? = + d2^X2 H F a^Xm ( 20 ])
z,„ = a,„ixi + a,„2X2 +…+ ammXm
能够概括初个原始指标Xl,X2,---,Xm的主要信息(其中，各 Z《 = l,2,...")互不相关)。为叙述方便，我们引入如下的矩阵形式：
令：
2、
。11 。12
Z =
Z2
9 A =
。21 。22
\am\ Q m2
则公式
(20-1)
可表为：
a\m '
ax
a2m
“2
V —
乂2
， A,—
^mm >
(%)
V \ mJ
Z = AX
或：
Z] =(X]X
Z2 — %x
<
ZmfX
如果Zt = ttjX满足：«!«! = 1 ,且
原始指标Xl,X2,---,Xm的第一主成分。
一般地，如果Z, =a；X满足：
(20-2)
(20-3)
Var(Z]) = Max(Var(a'X)},则称 乙 是 aa=l
aiai = 1,当Z〉1时，o；% =0 (j = 1,2,・・・,，_ 1)；
Var(Z.) = Max{Var(aX)}
aa=l, aa; =0 (j=l,2,•••,/-!)
则称z,.是原始指标的第，主成分(i = 2,•••,«!)o
由上述定义可知，当时，主成分Z,.与Z,是互不相关的，并且 Z]是原始指标Xl,X2,---,Xm的一切线性组合中方差最大者，Z2是与佑不 相关的、除Z］以外的Xi，X2，...,X,“的一切线性组合中方差最大者，…， Z”是与Z\,ZaS\都不相关的、除Z1Z，…,Zgi以外的X］,X2，…,X”的 一切线性组合中方差最大者。从理论上讲，求得的主成分个数最多可 有农个，这时，初个主成分就反映了全部原始指标所提供的信息。鉴 于主成分分析的目的主要是用较少个数的综合指标来反映全部原始 指标中的主要信息，因此在实际工作中，所确定的主成分个数总是小 于原始指标的个数。
（二）主成分的几何意义
为讨论方便，我们以m = 2为例来讨论主成分分析的几何意义。 设个体具有二个观测指标X|和X2,它们之间具有较强的相关性。测 量〃例这样的个体的值，将所得的〃对数据在以X|为横轴、X2为纵轴 的二维坐标平面中描点，得到如下的散点图（图20-la）。
图20-1主成分分析示意图
由图20-la可以看出，由于X|与X2具有较强的相关性，这〃个点 的分布呈现出直线化的趋势；同时，它们沿葛轴方向和为轴方向都 具有较大的变异度。我们知