文档介绍：泛函分析单元知识总结与知识应用
一、单元知识总结
第七章、度量空间和赋范线性空间
§ 1度量空间
§：若X是一个非空集合，d:XxX —R是满足下面条件的实值函 数，对于Vx,yeX,有（1）d（x,y） = O当且仅当X = y ；
d(x,y)-d(y,x)i
(3) d(x,y)^d(x,z) + d(y,z)> 则称d为X上的
度量，称（x,d）为度量空间。
例：1、设X是一个非空集合，,当）= “，当"儿则（X,d） 当"
为离散的度量空间。
2、序列空间S
d(x,y) =
宁1崎广川是度量空间 台 2, 1+1 齐,1
3、 有界函数全体8(A) , d(x,y) = suplx(t)-y(t)l是度量空间
teA
4、 连续函数C[a,b]，d(x, y) = maxlx(t)-j(t)l M度量空间
a<t<b
C 00 J_
5、空间/，刁（X, ＞） = [£（^-与）斗是度量空间 i=l
§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§：设｛%｝是（X,d）中点列，如果3xe X ,使limd（x〃,x）=O, 则称点列｛ X” ｝是（X, d）中的收敛点列。
例：1、xnERn, ｛兀J按欧氏距离收敛于X的充要条件为WiVn,各 点列依分量收敛。
2、 C[a,b]中』（x,y）-＞0 =勤一＞工（-•致）
3、 可测函数空间M（x）中点列d（X，f）rO = fm f （依测度） 稠密子集与可分空间：设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令 万表示
M的闭包，如果Eu宓，那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M 为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。
艮" M在E中稠密=>对Vx g <z M , xn x（n oo）
例：1、n维欧氏空间R”是可分空间；
2、 坐标为有理数的全体是R”的可数稠密子集；
3、 /°°是不可分空间。
§3连续映射
§（用领域来描述）：对7^0的每个£一领域U,必有玉）的某个领 域V是TV uU,其中TV表示V在映射T作用下的像。
§（X,』）到度量空间（匕方）中的映射，那么T在
x0 eX连续的充要条件为当％ TXo（〃T3）时，必有TTx°（nT8）
定理2度量空间X到P中映射丁是X上连续映射的充要条件为P中任 意开集M的原像匚1必是X中的开集。
§ 4柯西点列和完备度量空间
§：设X=（X,d）是度量空间，｛]〃｝是X中点列，如果对Vf >0, 正整数N = N（e）,使当n,m>N时，必有d（xn,xm）<£,则称｛%｝是X
中的柯西点列，如果度量空间（X,』）中每个点列都在（X,d）中收敛，那么称
（X,d）是完备的度量空间。
例：1、C[a,b]是完备度量空间
2、 尸是完备度量空间
3、 R"是完备的度量空间 注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、 柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列 (完备空间中即可反之一定是)
3、 实系数多项式全体P[a,b], P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备 度量空间
§