4.5矩协方差矩阵.ppt

文档介绍：. 矩、偏态、峰态
设X,Y是两个随机变量
（1）若
存在，则称它为X的k阶原点
矩，记为
（2）若
存在，则称它为X的k
阶中心矩，记为
（3）若
存在，
则称它为k+l阶混合中心矩。
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由定义可知，X的数学期望E(X)就是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，而(X，Y)的协方差cov(X,Y)是二阶混合中心矩。
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例1 设随机变量X服从正态分布
中心矩
求它的
解
已知，
因此
令
则
此广义积分绝对
收敛。当k为奇数时
当k为偶数时，令
则
3
特别，当k=4时
不难知道，如果随机变量的概率分布关于期望值
是对称的，则它的一切奇数阶中心矩都等于零。
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四阶中心矩可以描述随机变量分布的尖峭程度，通常用 来度量分布的尖峭程度，称它为峰态系数，简称为峰态。正态分布的偏态和峰态都等于零。
一般地，奇数阶中心矩可以描述随机变量分布的非对称性。通常用 来度量随机变量分布的非对称性，称它为偏态系数，简称为偏态。
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. 协方差矩阵
设
是n维随机变量，若
存在，记
则称矩阵Σ为n维随机变量X的协方差矩阵
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显然，协方差矩阵是一个对称矩阵，而且，它是半正定矩阵，当σi>0(i=1,2,…,n)时它是正定矩阵。
对于二维随机变量(X,Y)
(X,Y)的协方差矩阵为
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例2 设
试求其协方差矩阵。
解 已经求得
于是
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例3 设
解 由协方差的定义可知
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