文档介绍：第四章   量纲分析建模法
在数学的应用中，需处理的往往不是“纯粹的”
数，而是反映事物某一特性的度量。
用量纲的概念来表示被度量的特性。
量纲分析法是一种初等有效的物理建模方法
SI
fps
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一个模型中单位必须统一
时间（T）
基本物理量
质量（M）
长度（L）
力学中，任何物理量
都可以表示为其组合形
式，称这种组合形式为
物理量的量纲。
称为
基本量纲
其中 [质量]=[ m ]=M,
[长度]=[ l ]=L,
[时间]=[ t ]=T,
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例：
[加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
中的引力常数K的量纲为
[速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ;
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部分物理量是无量纲的，称之为纯数字，如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量，但它有单位（弧度）。
量 纲 独 立 于 单 位
量纲表达式总保持成立，与度量单位制的特殊选择无关。例如速度量纲为LT-1，可以表示为米每秒、英尺每秒、里每秒；面积量纲为L2，可以用平方米、平方公里等表示。
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三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
指一个方程在任何度量单位制下都成立
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量纲一致的，即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验
2. 无量纲化方法减少参数个数
注意：量纲尺度必须是线性的，否则量纲分析会失效！
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非线性震荡运动方程
或
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 ,
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根据量纲齐次性，有
[ F ]=MLT－2 , [ K ]=MT－2,
[ C ]= MT－1 , [ w0 ]=T－1
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
特点？
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将
代入原方程，有
=－X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
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原方程变形为
优点：
1. 减少了参数的个数；
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量。
四. 量纲分析建模
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建
立数学模型的一种方法,是对所设问题有一定了
解，在实验和经验的基础上利用量纲齐次原则
来确定各物理量之间的关系。
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单摆运动
单摆运动的抽象
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而
f (q1，q2，… qm )=0 （1）
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2,
… , Xn是基本量纲，其中n≤m，q1，q2，… qm
的量纲可表为
[qj ]= j=1,2, …,m
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵。若A的秩
Rank(A)=r
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