文档介绍：北航数值分析实验报告
《数值分析》计算实****报告
第一大题
学号：DY1305姓名：指导老师：
一、 题目要求
已知501*501阶的带状矩阵A ,其特征值满
足?1?501??1
40
最接近的特征值?ik；
3、A的条件数cond (A) 2和行列式detA。
二、 算法设计方案
题目所给的矩阵阶数过大，必须经过去零压缩后进行 存储和运算，本算法中压缩后的矩阵A1如下所示。
?0?0?Al??al
??b??c
0ba2bc
cbbc cbbc
cba5 OObO
a3...a 499 c?
b??a5 01?
?0?0??
由矩阵A的特征值满足的条件可知
?1与?501之间必有一个最大，则采用幕法求出的
一个特征值必为其中的一个：当所求得的特征值为正 数，则为?501；否则为？1。在求得？1与
?5 01其中的一个后，采用带位移的幕法则可求出它们 中的另一个，且位移量即为先求出的特
征值的值。用反幕法求得的特征值必为？s。由条件数 的性质可得，cond(A)2为模最大的特征值与模最小的特征 值之比的模，因此，求出？1, ?501和？s的值后，则可以求 得 cond (A)2o
对于题目的第二问。当我们将位移量设为?k,再用反 慕法求得的相应的特征值即为与之最接近的特征值。
由于在使用反幕法或带位移的反幕法过程中需要解线 性方程组，对此我采用三角分解法先分解矩阵A0 ,再求迭 代所需的解向量。当把A0进行三角分解后，三角矩阵的对 角线元素之积即为detA。
注：算法中涉及求范数时，均为？2。本报告的非程序 部分的矩阵和向量下标均以1
开始，程序部分的下标按程序语法规定从0开始计。
三、创新点
在幕法求按模最大的特征值过程中，Uk-l归一化后得 到yk?l再进行迭代求uk,迭代公式为
uk ?Ayk?l
为A的非0元素与对应的yk?l的积的和，而在程序中 变为
uk?Al yk?l
以第一、二、三列的乘积为列，
uk[l]?ayk?l[l]+byk?l [2]?cyk?l[3]
?Al[3][l]yk?l[l]?Al[4][l]y k?l[2]?A1 [5] [l]yk?l[3]
uk [2] ?byk?l [1] +a yk?l [2] +by k?l [3] ?cyk ?1 [4]
?A1 [2][2]yk?l 2]yk?l[2]?
Al [4] [2]yk ?1[3]?A1[5 ] [2]yk?l[4 ]uk[3]?cyk ?l[l]+byk
?1[2]+ayk?l [3]+byk?l[4]?cyk?l[5 ]
?A1[1] [ 3]yk?l[l] +
Al [2] [3]yk ?1[2]+A1[3 ][3]yk?l[3 ]?A1[4][3]
yk?l[4]?Al [5][3]yk?l [5]
由上可以看出前三列的相乘在编程时是不太方便的， 为了统一和简化编程，做出如下两处改动即可解决问题：
首先，为了方便压缩矩阵的赋值，将A1的0元素处理 后变为如下的矩阵A0, ?c?b?AO??a 1 ??b??c
cba 2bc cbbc c bbc
cba500b c
a3. . . a499
c?
b??a501?；
?b?c??
其次，将向量yk?l的空间拓展为505X 1,并且有
yk?l [l]?yk?l[2 ]?yk?l[504 ]?yk?l[505 ]?0
这样就可以将这个迭代部分统一为
uk[j]??aO[i][j]?yk?l [i], j=l, 2, ...,501
i?l
5
四、运算结果及分析
以下计算结果截图为初始迭代向量的情况下算得的。
本算法采用的是各个分量相同且为1的初始迭代向量, 运算后得到了正确的结果。将各个分量全改为0后无法运 算，但改为相同的其他实数后也能得到相同的正确结论， 这是运算时间开销不同。当模最大或最小特征值对应的初 始迭代向量的分量为0而其他分量不全为0的时候也能够 得到相同的正确结果。原因为即使所求的特征值对应的初 始迭代向量分量为0,那么由于计算过程有舍入误差的影响, 必然会在迭代的某一步产生一个该分量不为0的新迭代向 量。因此，也能得到正确的结论。
五、源程序
#include#i ncludettinc ludettdefin eCM5#defin eCN501
#d efineG〃矩阵A中的b#defin eH-〃矩阵A中的 cvoidiniti al(doubles [CM][CN]); intmax (int a, intb) ; in tmin (inta, intb);
do ublepower ( double (*a) [