文档介绍：运筹学非线性规划
教材及参考书
指定教材：沈荣芳，运筹学高级教程，高等教育出版社，
参考资料：
1. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition，. Bazaraa, , . Shetty, John Wiley & Sons, 2006.
2. 运筹学—非线性系统优化，李军，徐玖平，科学出版社，
3. 随机规划和模糊规划，刘宝碇，赵瑞清，清华大学出版社，
4. Stochastic Programming, Kall P, Wallace ., John Wiley and Sons, 1994
5. 多目标规划有效性理论，胡毓达，上海***，1994
6. 实用多目标最优化，胡毓达，上海科学出版社，1990
7. 多目标决策的理论与方法，徐玖平，李军，清华大学出版社，
非线性规划
非线性规划
在科学管理和其他领域中，大量应用问题可以归结为线性规划问题，但是，也有另外一些问题，其目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数和（或）约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。
一般来说，求解非线性规划问题比线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，这是需要深入研究的一个领域。
非线性规划研究核心问题：
最优性条件（必要条件，充分条件，Lagrange乘子理论，灵敏性分析，对偶理论）
迭代算法
解: 设投资决策变量为
问题归结为总资金的限制条件下, 极大化总收益和总投资之比, 数学模型为
î
1,
(i=1,2,…,n)
0,
i
i
xi
i
ì
=
í
决定投资第 个项目
决定不投资第 个项目
例：投资决策问题
某企业有n个项目可供选择投资, 并且至少要对其中一个项目投资. 已知该企业拥有总资金A元, 投资于第i(i=1,2,…,n)个项目需要花资金ai 元, 并预计收益为bi元, 试选择最佳投资方案使得总收益和总投资之比最大.
一般地，非线性规划的数学模型为
其中 X称为可行域
可行域中的点 称为可行点，f(x)称为目标函数
当 时，非线性规划模型称为无约束问题；
当 时，非线性规划模型称为有约束问题
使f(x)在X上取得最小值的点称为最优解，对应的目标函数值称为最优值
定义：如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数，则称这种规划为非线性规划问题。
为统一起见,称以下模型
min f(x)
. gi(x) ≤0 i=1，2，…，m （1）
hj(x)=0 j=1，2，…，l
为标准的非线性规划模型,其中f(x),gi(x),hj(x)中至少有一个是x的非线性函数. 称gi(x) ≤0为不等式约束, hj(x)=0为等式约束.
满足所有约束条件的x称为可行解, 所有可行解构成的集合
称为可行域。
例: 考虑如下非线性规划问题：
min f(x)= [(x－14)2+(y－15)2 ]1/2
. (x - 8)2 + (y - 9)2 ≤49
x ≥ 2， x ≤ 13
x + y ≤24
非线性规划的最优解未必在顶点处达到；
非线性规划的最优解是一组同心圆最先与可行域相交的点，在可行域的边界上达到
二维非线性规划问题的图解分析
例：请考虑如下非线性规划问题：
min f(x)= (x－8)2+(y－8)2
. (x - 8)2 + (y - 9)2 ≤49
x ≥ 2， x ≤ 13
x + y ≤24
非线性规划的最优解在可行域内部达到
可以看出, x2, x3, x4是局部最优解,
且x3还是全局最优解,
x1, x2 , x3, x5是严格局部最优解,
x4不是严格局部最优解.
x
f
0
x1
x2
x3
x4
x5
f(x)
D
一个全局最优解一定是局部最优解，反