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全国初中数学竞赛试题和答案解析
2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答】 C.
由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.
若，，可求得或所以或.
因此，的可能的值有3个.
2．已知非负实数满足，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答】 A.
，
易知：当，时，取得最大值.
3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝ （ ）
A． B． C． D．
【答】 B.
因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.
又易知△∽△，所以，从而可得.
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答】 B.
若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.
因此，所求概率为.
5．设表示不超过实数的最大整数，，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答】 D.
设，则，所以，因式分解得，所以.
由解得，显然，所以1.
6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为 （ ）
A．　　　B．　　　 C．　　　　 D．
【答】 A.
过作于，易知△≌△，△∽△.
设，则，，，，故，，故可得.
故.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足，，则____．
【答】 0.
由题意知，所以
整理得，所以0.
2．使得不等式对唯一的