文档介绍：第六章 近邻法
最近邻法
一. 最近邻法的基本思想
此法是一种根据提供的信息，绕开概率的估计而直接决策的方法，所以它是非参数决策方法的一种。
其基本思想是：设有一组N个样本
æ={ X1,X2,……,XN}
其中每个样本都已标以类别标志。如果在这N个样本中与待分样本X的一个样本为Xiæ，则把X分到Xi所在的类别中去。
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二. 最近邻法的决策规则
设有c类模式样本，
ω1, ω2,……, ωc
每类有Ni个样本(i=1,2,……,c)，则最近邻法的(ωi类)判别函数为:
式中 表示ωi类中的第k个样本。
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对应的决策规则为：
如果
则决策
即只要将待分样本X与全部N( )个已知类别的样本进行欧氏距离之间的比较，然后将X归到离它最近的类别中。
由于这种方法只根据离待分样本X最近的一个样本的类别而决定其类别，所以通常称为1-最近邻法(亦称1-NN方法)
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三. 最近邻法的错误率问题
最近邻法是一种次优方法，它的错误率比最小错误概率的Bayes决策规则下的错误率要大，但是，当样本数目无限时，它的错误率不会超过Bayes错误率的一倍。
定性分析：
若将X的最近邻Xj的类别看成是一个随机变量 ，于是
的概率就是后验概率 .
当样本数目很多时，可以认为X的最近邻Xj 离它很近，从而近似的认为
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这时最近邻法可看成是如下的随机化决策：
按照概率 来决定X的类别。
故最近邻法可看成是用后验概率来对X进行分类的。
再进一步说，就是如果有下式成立：
则依Bayes决策，应取 作为X的类别。而在最近邻法中，最近邻的类别为 的概率为 ，所以X分到 类去的概率为 ，而不分到 类去的概率为：
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这也就是说：
按Bayes决策的话：以概率为1，而得决策
按最近邻法决策的话：以概率为 ，而得决策
显然，当 接近于1时，最近邻法与最小错误率下的Bayes法的结果就几乎相同了。也就是说，当最小错误概率较小时，最近邻法的错误概率也是较小的，这两种方法同样“好”。
而当各类的 都接近于 时(即所有类别是等可能的)，最近邻法与Bayes法的结果就不一样了。这时两者的错误率都接近于
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定量描述：
式中：p为最近邻法的渐近平均错误率
为 Bayes错误率
c 为类别数
一般较小
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k-近邻法(k-NN法)
为了克服单个样本类别的偶然性以增加分类的可靠性，可将最近邻法则进行改进，一个简单的方法就是k-近邻法。
此法就是考察待分样本X的k个最近邻样本，这k个最近邻元素中哪一类的样本最多，就将X判属哪一类。或者说，就是在N个已知类别的样本中，找出X的k个近邻，这k个近邻中多数属于的那一类 ，就是 。
具体就是：设k1,k2,......,kc分别为X的k个最近邻样本中属于
类的样本数，
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则定义 类的判别函数为：
决策规则为：
如果
则判
最近邻法和k-近邻法的共同优点是简单，而且结果是比较好的，但是它们也存在下述问题：
① 需要将全部样本存入机器中，每次决策都要计算X与全部样本间的距离并进行比较。所以要求的存储容量和计算量都很大。
② 没有考虑到决策的风险，所以如果决策的错误代价很大时，会产生很大的风险。
③上述分析是建立在样本数 的假定上的，这在实际应用中是无法实现的。
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近邻法的改进算法
共同特点是如何尽快地找出最近邻可能存在的小的空间，减少搜索的范围，从而达到减少近邻法中的计算量和存储量的问题。
一. 快速近邻算法
该算法对最近邻法和k-近邻法都适用。下面以最近邻法为例来讨论。
1. 基本思想
将全部已知样本按级分成一些不相交的子集，并在子集的基础上进行搜索。也就是说，该算法由两个阶段组成：
第一阶段：将样本集按级