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极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难， 而极限学的好坏直接关系到
《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结， 然后通过例题给出
求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1 .定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)
说明：(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的
b
极限严格定义证明，例如：lim—— 0(a,b为常数且a 0) ； lim(3x 1) 5；
n x 2
lim qn n
0,当|q| 1时
不存在，当|q | 1时
(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需
再用极限严格定义证明。
2 .极限运算法则
定理1已知lim f(x), lim g(x)都存在，极限值分别为 A, B,则下面极限都存在,
且有 (1) lim[ f(x) g(x)] A B
(2) lim f (x) g(x) A B
(3) lim f® -,(此时需B 0成立)
g(x) B
说明：极限号下面的极限过程是一致的； 同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,
不能用。
(1)
sin x
lim
x 0 x
1
(2) lim (1 x)x e - lim (1 1)x e
x 0 ' ' ' x x
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介：靳一东，男，( 1964—),副教授。
1 x
例如：lim sn^ 1, lim(1 2x) 2x e, lim(1 3)3 e ；等等。
x o 3x x o x x
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0)。
定理3当x 0时，下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价，即有：
x 〜sinx 〜tanx 〜arcsinx〜arctanx 〜ln(1 x)〜ex 1。
说明：当上面每个函数中的自变量 x换成g(x)时(g(x) 0),仍有上面的等价
3x 2
关系成立，例如：当x 0时，e 1〜3x ； ln(1 x )〜 x。
x0时的无穷小，且 f (x)
定理4如果函数 f (x), g(x), f[(x), g1(x)都是x
..f1(x) 1. f (x)
f1(x) , g(x)〜g1(x),则当lim 存 在时，lim —也存在 且等于
x x0 g1(x) x x g(x)
f1(x) f (x) f1(x)
f(x) lim ,即 lim —(-) = lim 。
x x0 g1(x) x x0 g(x) x x0 g1(x)
定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满足:
(1 ) f (x)和g (x)的极限都是0或都是无穷大；
(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
f (x)
(3) lim 存在(或是无穷大)；
g (x)
「 f(x) 「 f (x) 「 f (x) 「 f (x)
则极限lim 也一定存在,且等于 lim ——,即lim =lim ——
g(x) g (x) g(x) g (x)
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件( 1)是否满足，即验证所求极限
是否为“ 0 ”型或“一”型；条件(2) 一般都满足，而条件(3)则在求导完毕
0
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注 意条件。
Xo是函数f (x)的定义去间
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果
内的一点，则有lim f (x) f (x0)。
x xo
定理7 (准则1)
单调有界数列必有极限。
定理8 (准则2)
已知{Xn} ,{yn} ,{Zn}为三个数列，且满足:
(1) Vn
xn Zn ,(n 1,2,3,
⑵ lim
yn a, lim Zn a
n
则极