文档介绍：《导数及其应用》教案
何永强
【考纲要求】
1、 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求 函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；
2、 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的 极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最 大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
【重点】
1、 利用导数判断函数单调性或求单调区间；
2、 利用导数求极值或最值；
【难点】导数的综合应用
【命题展望】 本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题 中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所 学知识和方法的能力.
【教学过程】
一、基础知识梳理
函数的单调性
在(a, b)内可导函数f (x) , f，(x)在(a, b)任意子区间内都不恒等于0. ①
f' (x)±OOf(x)在(a, b)为增函数;
②f，(x)WOOf(x)在(a, b)为减函数.
函数的极值
判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点xO处连续时，
如果在xO附近的左侧f‘(x)>0,右侧f‘(x)<0,那么f(xO)是极大值;
如果在xO附近的左侧f‘(x)<0,右侧f‘(x)>0,那么f(xO)是极小值.
求可导函数极值的步骤
求f，(x)；
求方程f' (x) =0的根；
检查fz (x)在方程f，(x)= ，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小 值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.
函数的最值
在闭区间［a, b］上连续的函数f(x)在［a, b］上必有最大值与最小值.
若函数f (x)在［a, b］上单调递增,则f (a)为函数的最小值,f (b)为函数 的最大值；若函数f(x)在［a, b］上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b) 为函数的最小值.
⑶设函数f(x)在［a, b］上连续,在(a, b)内可导,求f(x)在［a, b］上的最
大值和最小值的步骤如下：
求f(x)在(a, b)内的极值;
将f(x)的各极值与f (a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值.
二、典例精析
题型一 求函数f(x)的单调区间
【例1】已知函数f (x) =X2—ax —aln(x—1) (a£R),求函数f(x)的单调区
间.
【解析】函数f (x) =x2—ax—aln(x — 1)的定义域是(1, +°°).
/ a + 2 2x(x——— ,/ x a 2
f (x) = 2x — a— -= :
X— 1 X— 1
a+2
a+2 2x(x—亍
①若aWO,贝I］于Wl, fz (x)= >0在(1, +◎上恒成立,
2 X— 1
所以aWO时，f(x)的增区间为(1, +®).
a -L9
②若 a>0,贝U二->1，
a -L9
故当XG(1,于］时，fZ
/ a+2、
2x(x—^―)
(x) = ' W0；
x~ 1
/ a+2、
2x(x———)
——$0,
X— 1
a -L9
当