文档介绍：第六节-泰勒公式与泰勒级数
§ 泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与
Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.
难点: 理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练****相结合
教学过程：
O、近似表达函数的多项式的特性
无论是函数的性态还是近似计算，
引例：当很小时，，设，，则
，其在处接近的程度更高，：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令
,,
若 ,.
（表示的函数值相等）则
（），于是.
证明：因,
,
…… ,
…… , ,
那么 ,所以 ,
.
一、泰勒（）公式
在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
（ 当很小时，）
从几何上看，
函数改变量的表达式中
略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式
在实际计算中的精
数，并令可得
于是可以写成
若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式
不一定等于，但它可以近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.
设，如果能确定的值，则就确定了.
【】（泰勒公式）设在含有
的区间内
有直到阶的连续导数,则，可以按（）
的方幂展开为
.
称为拉格朗日型余项, 介于与
之间.
证明：因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成
为求出的值，引进辅助函数
显然 ，在区间上连续（设），
在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点
，使得，因为
化简整理得
所以 ，而
由 ，于是
，介于与之间.
在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式
其中
或令，则
另证：,,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明)
,,
显然 , .那么
,
其中 ，所以
, 介于与之间.
例1 求的阶麦克劳林公式.
解 因,,，那么
,.
例2 求的阶麦克劳林公式.
解 因, .
有 ,,，那么
,(或都可以)
其中：,.
特别地：时，, ；
时，, ；