文档介绍：简单的三角函数恒等变换讲解
年级
高一
学科
数学
内容标题
简单的三角函数恒等变换
编稿老师
褚哲
一、学****目标：
1. 了解积化和差、和差化积的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化.
2. 能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.
二、重点、难点：
重点：三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.
难点：公式的灵活应用.
考点分析：
三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于三角函数式的求值、化简及恒等变形都有一定的作用
，积化和差公式的推导运用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导运用了“换元”，只是将其作为基本的训练素材，结果不要求记忆，但同学们要注意体会并能运用它们进行简单的三角变换.
三角函数的积化和差与和差化积公式
1、公式的推导
得
即 （1）
（2）
（3）
（4）
公式（1）（2）（3）（4）叫做积化和差公式.
其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，，在积化和差的公式中，如果令，则.
把这些值代入积化和差的公式（1）中，就有
（5）
同理可得，
（6）
（7）
解题过程：（1）方法1：
方法2：
（2）
（3）方法1：
方法2：
解题后思考：（1）只有牢记积化和差公式，解题时才能正确使用.
（2）如求的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式也可求值，
即
例2：把下列各式化成积的形式.
（1）；
（2）.
思路分析：只要将以上两题稍作变形，如将题（1）中的换成，题（2）中的cosx看作，即可直接应用公式进行化积.
解题过程：（1）
（2）方法1：
方法2：
解题后思考：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中的可化为，题（2）中的可化为.
（2）对于形如，可化为的形式，也能达到实现和差化积形式的目的.
例3：求值：
（1）；
（2）csc40°+cot80°.
思路分析：最常见的方法是降幂扩角及积化和差公式的应用，但对偶式的应用可能会使问题变得更简单.
解题过程：（1）
（2）
解题后思考：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）的解题过程对这一点展现得淋漓尽致；题（2）巧妙地运用了对偶式，.
例4：求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.
思路分析：本题的解法具有一定的技巧性，可以用二倍角公式引起连锁反应，也可用积化和差公式解题.
解题过程：方法一：sin6°sin42°sin66°sin78°
方法二：sin6°sin42°sin66°sin78°
解题后思考：积化和差、，还要认真考虑项与项之间的适当组合.
三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数运算中起什么作用，和差化积公式在三角函数运算中就起什么作用.