文档介绍：基本知识
泛函初步：研究抽象空间与空间之间相互关系。
空间：数学结构集合
空间的延伸：引入线性运算构成线性空间；引入范数构成线性赋范空间；引入内积，构成内积空间等等。
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常用数学符号
∀：”for all” or “for everyone”, 对于每个
∃： “there is a” or “there exists”, 存在
Z ：整数集
R：实数集
C：复数集
Z+：正整数集
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常用数学符号
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常用数学符号
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线性空间
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是
某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题
看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际
问题．
一、线性空间的定义
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线性空间
若对于任一数 与任一元素 ，总有唯
一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，
记作
定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果
对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元
素 与之对应，称为 与 的和，记作
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线性空间
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．
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线性空间
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线性空间
2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．
3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定
义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条
性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
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线性空间
（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运
算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运
算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．
线性空间的判定方法
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