文档介绍：2013 年中考平面几何探究试题( 2013 ?绵阳) 我们知道, 三角形的三条中线一定会交于一点, 这一点就叫做三角形的重心. 重心有很多美妙的性质, 如关于线段比. 面积比就有一些“漂亮”结论, : (1 )若 O是△ ABC 的重心(如图 1) ,连结 AO 并延长交 BC 于D ,证明: ; (2)若 AD 是△ ABC 的一条中线( 如图 2),O是 AD 上一点, 且满足, 试判断 O是△ ABC 的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由; (3)若O是△ ABC 的重心,过O 的一条直线分别与 AB 、 AC 相交于 G、H( 均不与△ AB C 的顶点重合) (如图 3),S 四边形 BCHG ,S △ AGH 分别表示四边形 BCHG 和△ AGH 的面积,试探究的最大值. 考点: 相似形综合题;三角形的重心分析:(1 )如答图 1 ,作出中位线 DE ,证明△ AOC ∽△ DOE ,可以证明结论; (2 )如答图 2 ,作△ ABC 的中线 CE ,与 AD 交于点 Q ,则点 Q为△ ABC 的重心. 由(1) 可知,=, 而已知, 故点 O 与点 Q 重合, 即点 O为△ ABC 的重心; (3) 如答图 3, 利用图形的面积关系, 以及相似线段间的比例关系, 求出的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值. 解答:(1 )证明:如答图 1 所示,连接 CO 并延长,交 AB 于点 E. ∵点O是△ ABC 的重心, ∴ CE 是中线,点 E是 AB 的中点. ∴ DE 是中位线, ∴ DE ∥ AC ,且 DE= AC . ∵ DE ∥ AC , ∴△ AOC ∽△ DOE , ∴=2 , ∵ AD=AO+OD , ∴. (2 )答:点 O是△ ABC 的重心. 证明:如答图 2 ,作△ ABC 的中线 CE ,与 AD 交于点 Q ,则点 Q为△ ABC 的重心. 由( 1 )可知, =, 而, ∴点Q 与点 O 重合(是同一个点), ∴点O是△ ABC 的重心. (3 )解:如答图 3 所示,连接 DG . 设S △ GOD =S ,由( 1 )知,即 OA=2OD , ∴S △ AOG =2S ,S △ AGD =S △ GOD +S △ AGO =3S . 为简便起见,不妨设 AG=1 , BG=x ,则 S △ BGD =3xS . ∴S △ ABD =S △ AGD +S △ BGD =3S+3xS= ( 3x+3 )S, ∴S △ ABC =2S △ ABD =( 6x+6 )S. 设 OH=k ? OG ,由 S △ AGO =2S ,得 S △ AOH =2kS , ∴S △ AGH =S △ AGO +S △ AOH =( 2k+2 )S. ∴S 四边形 BCHG =S △ ABC ﹣S △ AGH =( 6x+6 )S ﹣( 2k+2 ) S= ( 6x﹣ 2k+4 )S. ∴==①如答图 3 ,过点 O作 OF ∥ BC 交 AC 于点 F ,过点 G作 GE ∥ BC 交 AC 于点 E,则 OF ∥ GE . ∵ OF ∥ BC , ∴, ∴ OF= CD= BC ; ∵ GE ∥ BC , ∴, ∴ GE= ; ∴=, ∴. ∵ OF ∥ GE , ∴, ∴=, ∴ k= ,代入①式得: ===﹣x 2 +x+1= ﹣( x﹣) 2+, ∴当 x= 时, 有最大值,最大值为. 点评: 本题是几何综合题,以三角形的重心为背景,考查了重心的概念、性质以及应用,考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点. 试题的难点在于第(3) 问, 如何求出的关系式是解题的关键; 另外,第(3) 问尚有多种不同的解法,同学们可以深入探究. (自贡市) 将两块全等的三角板如图①摆放,其中 1 1 90 ACB ACB ? ???°, 130 A A ? ???°. (1) 将图①中的 1 1 ABC ?顺时针旋转 45° 得图②,点 1P 是 1 AC 与 AB 的交点,点Q是 1 1 AB 与 BC 的交点,求证: 1 CP CQ ?; (2 )在图②中,若 12 AP ?,则 CQ 等于多少? (3) 如图③,在 1 BC 上取一点 E, 连接 BE 、 1 PE ,设1 BC ?,当 1 BE PB ?时,求 1 PBE ?面积的最大值. (1 )证明: 145 BCB ? ??°, 1 1 90 BCA ? ?° 1 1 45 BCQ BCP ?? ???° ··············· (1′) 又 1