西南交大矩阵分析(3).ppt

文档介绍：第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设 是实数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与
的内积，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件：
1
这里 是 中任意向量， 为任意实数
，只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。
例 1 在 中，对于
规定
容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个欧氏空间。如果规定
2
容易验证 也是 上的一个内积
，这样 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 维线性空间 中，规定
容易验证这是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中，规定
3
容易验证 是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 是复数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与
的内积，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件：
4
这里 是 中任意向量， 为任意复数
，只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 是 维复向量空间，任取
5
规定
容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义
6
容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中，规定
其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质：
7
欧氏空间的性质：
8
酉空间的性质：
9
定义：设 是 维酉空间， 为其一组基底，对于 中的任意两个向量
那么 与 的内积
令
10