文档介绍：《导数及其应用》知识点总结
、导数的概念和几何意义
.函数的平均变化率：函数
.导数的定义：设函数 y
f(X)在区间［Xi，X2］上的平均变化率为:
f(X2) f(Xi)
X2 X1
f(X)在区间(a,b)上有定义，Xo (a,b),若 x无限趋近于
0时，比值-2 生—X) f(X0)无限趋近于一个常数 A,则称函数f(x)在x xo处可导， X X
并称该常数A为函数f(x)在x Xo处的导数，记作f(X。)。函数f (x)在x Xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
.求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量 y f (Xo X) f (Xo) ； (2)求平均变
化率：Xx X) f (Xo) ；(3)取极限，当 X无限趋近与o时，f(x一X) f(Xo)无限趋 X X
近与一个常数A,则f (%) A.
.导数的几何意义：
函数f(x)在x %处的导数就是曲线 y f(x)在点(％,f(xo))处的切线的斜率。由此，
可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
(1)求出y f(x)在Xo处的导数，即为曲线 y f(x)在点(Xo, f(Xo))处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y yo f (xo)(x xo)。
当点P(Xo,yo)不在y
f(x)上时，求经过点 P的y f(x)的切线方程，可设切点坐标,
由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y f(x)在点
(%, f(%))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 x %。
.导数的物理意义：
质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t),则V S(t)表示瞬时速度，a v(t)表示瞬时加速度。
二、导数的运算
.常见函数的导数：
(2) C o(C为常数);
(4) (x2) 2x ；
(6) (1) 3；
X X
(kx b) k(k, b 为常数)；
(3) (x) 1；
(5) (x3) 3x2；
⑺诉
(9) (ax) axlna(a 0,a 1)；
(8) (X ) 以“1 ( a为常数)；
(ex) ex;
(13) (sin x) cosx ;
(in x) 1 ； x
(14) (cosx) sinx。
(10) (loga X) [logae TXi17a(a 0，a 1)；
.函数的和、差、积、商的导数：
[ f(x) g(x)] f (x) g (x);
[Cf (x)] Cf (x) (C 为常数)；
[ f(x)g(x)] f (x)g(x) f(x)g(x);
(4)[更]f(x)g(x)2,f(x)g(x) (g(x) 0)。
g(x) g (x)
.简单复合函数的导数:
若 y f (u), u ax b ,则 yx yu ux ,即 yx yu a。
三、导数的应用
.求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y f(x)在区间(a,b)内可导，
(1)如果恒f (x) 0,则函数y f (x)在区间(a,b)上为增函数；
(2)如果恒f (x) 0,则函数y f (x)在区间(a,b)上为减函数；