文档介绍：矩阵论电子教程
Department of Mathematics
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内积空间
第二章
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教学内容和基本要求
，掌握正交基及子空间的正交关系.
3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，
2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定
方法.
4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质
重点: 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系
难点: 正交变换的判定方法
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定义2：长度为1的向量称为单位向量，对于任何
一个非零的向量，向量
总是单位向量，称此过程为单位化。
一, 向量的正交与标准正交基
§ 向量的正交标准正交基
定义1：在酉空间中，如果，则称
与正交。记为:
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定义3：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。
定义4：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。
例1 在中向量组
都是标准正交向量组
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定理1:标准正交向量组必为线性无关向量组
证明:设为标准正交向量组,即:
令: ,并和做内积:
即线性无关,所以,是线性无关组
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维欧氏(酉)空间中，由个向量构成的正交向
量组
称为正交基；
由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准
正交基.
定义5：（正交与标准正交基的定义）
② 维欧氏(酉)空间V中的一组基　为标准正交基
(1)
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定义6：设为一个阶复矩阵，如果其满足
则称是酉矩阵，一般记为
定义7：设为一个阶实矩阵，如果其满足
则称是正交矩阵，一般记为
二. 酉矩阵正交矩阵
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例2.
是一个正交矩阵
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是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
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