文档介绍：§ 排列与组合
要点梳理
（1）排列的定义：从n个 的元素中取出m (m
≤n)个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的 的个数叫做从n个
不同的元素中取出m个元素的排列数，用A 表示.
不同
顺序
所有不同排列
基础知识 自主学习
1
（3）排列数公式：A = .
（4）全排列：n个不同的元素全部取出的 ，叫
做n个不同元素的一个全排列，A =n· (n-1）·
（n-2）·…·2·1= .于是排列数公式写成阶乘
的形式为 ，这里规定0！= .
（1）组合的定义：从n个 的元素中取出m（m≤
n）个元素 叫做从n个不同的元素中取出
m（m≤n）个元素的一个组合.
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
排列
n！
1
不同
合成一组
2
（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m
≤n）个元素的 的个数，叫做从n个
不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用
C 表示.
（3）组合数的计算公式： =
，由于0！= ，所以
C = .
（4）组合数的性质：①C = ；②C =
+ .
所有不同组合
1
1
3
基础自测
，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 （ ）
解析 选出符合题意的三个数有 =9种方法，每三个数可排成 =6个三位数，
∴共有9×6=54个符合题意的三位数.
D
4
{1，2}X{1,2,3,4,5}，满足这个关系式
的集合X共有 （ ）
解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，
从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.
故有 =8（个）.
D
5
运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，
则不同的选派方案共有 （ ）
解析 若选男生甲，则有 =10种不同的选法；同
理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有
=5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.
A
6
4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人
担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没
有入选的不同选法的种数为 （ ）
解析 丙不入选的选法有 =84（种）,
甲乙丙都不入选的选法有 =35（种）.
所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法
有84-35=49种.
C
7
，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
解析 恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第
三个空位不相邻，先排三个人，
· =72种排法.
C
8
题型一 排列问题
【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选其中5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻；
（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.
题型分类 深度剖析
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思维启迪 无限制条件的排列问题，；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.
解 （1）从7个人中选5个人来排列，
有 =7×6×5×4×3=2 520种.
（2）分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有
· =5 ，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.
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