文档介绍：排列组合问题的常用方法总结2
知识内容

⑴加法原理
分类计数原理:做一件事,完成它有类办法,在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种方法,……,.
⑵乘法原理
分步计数原理:做一件事,完成它需要分成个子步骤,做第一个步骤有种不同的方法,做第二个步骤有种不同方法,……,.
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.
2. 排列与组合
⑴排列:一般地,从个不同的元素中任取个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)
排列数:从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
排列数公式:,,并且.
全排列:一般地,个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的一个全排列.
的阶乘:正整数由到的连乘积,叫作的阶乘,:.
⑵组合:一般地,从个不同元素中,任意取出个元素并成一组,叫做从个元素中任取个元素的一个组合.
组合数:从个不同元素中,任意取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中,任意取出个元素的组合数,用符号表示.
组合数公式:,,并且.
组合数的两个性质:性质1:;性质2:.(规定)
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:
、特殊位置优先法
元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;
:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.
,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.
:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.
:个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有.
、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、(组),必须除以!,如果有堆(组)元素个数相等,必须除以!
:编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当,3,4,5时的错位数各为1,2,9,、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:
①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.
:
①对特殊元素进行优先安排;
②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;
④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;
⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;
⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.
⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.
典例分析
挡板法(名额分配或者相同物品的分配问题)
某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有种.
某校准备组建一个由人组成篮球