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文档介绍:1 向量组与矩阵
2 极大线性无关组与向量组的秩
3 向量组的秩与矩阵秩的关系
第三章 第二讲

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一、向量组与矩阵
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
m个n维的行向量所组成的向量组 构成矩阵:
n个m维的列向量所组成的向量组 构成矩阵:

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向量组  称为矩阵A的行向量组.
问题:是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题?

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例如研究列向量组 的线性相关性,只须考察方程
是否有非零解。
利用矩阵乘法,方程变形为
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论:

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行向量组 线性相关的充要条件是
线性无关的充要条件是
推论
定理 1
若列向量组 所构造的矩阵A,则
例 1 讨论下列向量组的线性相关性
解 (1)向量组是3个二维向量,故线性相关。
(2)由矩阵
初等行变换

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(1)如果 线性相关, 那么 也线性相关。
定理 3 在r维向量组 的各向量添上n-r个分量变成n维
向量组 。
(2)如果 线性无关,那么 也线性无关。
定理 2 设p1,p2, …,pn为1,2,…,n的一个排列, 和
为两向量组,其中
即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性。

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例 2 设向量组 且t 互不相等,
证明 线性无关。
i
证明: 考察向量组

则其行列式|B|为范德蒙行列式,
由于t 互不相等,所以|B|≠0,
i
所以 线性无关,
从而 线性无关。

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二、极大线性无关组与向量组的秩
定义1 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个
部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中向这部分组任
意添一个向量(如果还有的话),所得的部分组都线性相关。
极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩 。
易知有如下结论:
(1)一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。
(2)向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。
例 3 基本向量组 是Rn 的极大无关组。
解 由上一节,基本向量组是线性无关的,且任何一个n维向量都可以由它线性表示(即坐标表示)。

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定理 4 如果向量组 能由向量组 线
性表出,且向量组A线性无关,那么 。
证明
不妨设所给向量都是列向量,记矩阵
由已知可得


反证法,假设 ,则矩阵K 的列向量组线性相关,即有不全为0的数
使得

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与向量组A 线性无关矛盾,所以
推论 2 等价的向量组必有相同的秩 。
推论 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。
推论 3 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组
都是极大线性无关组。

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上传人:相惜 2021/7/29 文件大小:399 KB

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