文档介绍：定积分换元积分法则
定积分换元积分法则
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对应于不定积分第二换元积分法则,有定积分换元积分法则,它是计算定积分的一种重要方法.
定积分换元积分法则
定积分换元积分法则
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证:由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,从而函数f(x)在闭区间[a,b]上存在原函数,
设函数F(x)为f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数,根据§-莱不尼兹公式,有定积分
由于函数F(x)为f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数,从而有微分
dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx
定积分换元积分法则
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根据§,当变量x不是自变量而是中间变量,即变量x为自变量t的函数x=φ(t)时,同样有微分
dF(x)=f(x)dx
即有
dF(φ(t))=f(φ(t))dφ(t)
因而得到一阶导数
(F(φ(t)))'=f(φ(t))φ'(t)
=f(φ(t))φ'(t)dt
定积分换元积分法则
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这说明函数F(φ(t))为f(φ(t))φ'(t)的一个原函数.
根据§-莱不尼兹公式,有定积分
所以得到定积分
定积分换元积分法则
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这个法则说明:
换限时要注意:换元后的积分下限对应于换元前的积分下限,换元后的积分上限对应于换元前的积分上限;
在换元前的积分下限小于换元前的积分上限的情况下,换元后的积分下限不一定小于换元后的积分上限.
定积分换元积分法则
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这样将原积分变量为变量x的定积分化为新积分变量为变量t的定积分
当变量代换后的原函数解出后,不必将原函数表达式中的变量t用φ-1(x)代回,只要变量t分别用换元后的积分上限、积分下限代入得到的原函数值相减,就得到所求定积分的值.
定积分换元积分法则可以概括为:既换元又换限.
定积分换元积分法则
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则可以令变量
即作变量代换
同时换限,根据§-莱不尼兹公式求得结果
例1
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所以定积分
例2
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所以定积分