文档介绍：高中数学基本不等式的巧用
，—a+b
.基本不等式：abib< 2
(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.
.几个重要的不等式
(1)a2+b2>2ab(a, bCR)； (2)b+ a>2(a, b 同号)；(3)ab< a~^b 2(a, bCR)； a b 2
(4)a2+ b2
a+ b 2
亍 2(a,
be R).
.算术平均数与几何平均数
a b
设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为一丁，几何平均数为 朝，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.
.利用基本不等式求最值问题
已知x>0, y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x^y时，x+ y有最小值是25.(简记：积定和最小)
⑵如果和x+y是定值p,那么当且仅当x^y时，xy有最大值是券.(简记：和定积最大)
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2+b2>2ab逆用就是
ab三吟b:一.%b至MOb(a-bN0)逆用就是…abf. ayb 2(a....b>.0)等」一还要注意…:孤…拆项:. 技巧和公式等号成立的条件等.
两个变形
(1) 2之ab缸…b£R,…当县仅当…包亍,)
⑵一、Jagb>. ayb>. Vab>彳2彳(a 20M b> Q,…当且仅当…a三一 b 一时取笠号，…
.a-十b
这两个不等式链用处很大一…注意掌握它们
三个注意
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等”的忽
，这三个条件缺一不可.
(2)在运用基本不等式时，要特别注意 “拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正” “定” “等”的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
应用一：求最值
例1:求下列函数的值域
y= 3x 2+白
1
y=x+- x
解题技巧：
技巧一：凑项
一 一， 5
例1 ：已知x —,求函数y
4 y
4x
2 1的最大值。
4x 5
技巧二：凑系数
4时，求y x(8 2x)的最大值。
技巧三：分离
2
x一7x~10(x 1)的值域。
x 1
技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况,
应结合函数
a
f (x) x —的单调性。
x
例：求函数y
x2 5
二=='的值域。
x2 4
，并求取得最小值时,
x的值.
(1) y
x2 3x 1 / -
,(x 0)⑵ y
x
2x
1
,x
x 3
3 (3) y
1
2sin x ,x (0,) sin x
2,已知0
x 1,求函数y "x(1 x)的最大值
.；3. 0
y Jx(2 3x)的最大值.
条件求最值
a b
b 2 ,则3 3的最小值是
变式：若log 4 x
技巧六：整体代换:
1 1
lo