定积分的换元积分法与分部积分法.doc

文档介绍：定积分的换兀积分法与分部积分法
教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法
难 点：定积分换元条件的掌握
重 点：换元积分法与分部积分法
由牛顿-莱布尼茨公式可知， 上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因 此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.
1 .定积分换元法
定理假设
函数f(x)在区间［a,b］上连续；
函数x =「(t)在区间［:•，订上有连续且不变号的导数；
当t在「，订变化时，(t)的值在［a,b］上变化，且：C)=a, C)=b，
则有
：f(x)dx「」t (t)〉(t)dt. (1)
=「(t)应满足定理的条件，在改 变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.
例1计算f比^dx .
1 x
解 -1 二t，则 x=1 • t2,dx =2tdt .当 X =1 时，t = 0 ；当 X = 2 时, t =1 .于是
2 厶 _1 1 t 1 ' 1
f 2tdt =2[ 1—[dt
1 x 01+t2 > 1+t2 丿
1 (兀)
= 2(t—arctta@=21 — |.
< 4丿
例 2 计算 0\a2 - x2dx (a a0).
解 令 x =asi nt，贝U dx =acosd .当 x=0 时，t = 0 ；当 x = a 时，t =—.故
2
o a2 _x2dx 二
2 a cost a costdt
ji
2 (1 cos2t)dt
2 IL " 2si f2t
y八
O
图5- 8
显然,
这个定积分的值就是圆 x2 • y2 = a
2在第一象限那部分的面积（图5
-8).
计算:cos5 x sin xdx .
解法一 令t 二 cosx，贝U dt 二-sin xdx .
当"0时，； 当--时，-0，于是
jcos'xsin xdx —
0 5 1 6
t5dt =」t6
6
解法二 也可以不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改 变.
JI
2
n
cosxsirxdx- 2cogxdcosc
J0
1 6
一一 cos x
6
1 1
-1=—
6 6 °
此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限.
计算 ° 1 - sinxdx.
兀j 兀 X x
解［G-sinxdx 珥 sirpco2
dx 注去绝对值时注意符号.
=:(cos- -sinx)dx -. (sin° - cos^)dx
2 2 2 2 2
x X、
= 2(sin cos )
2 2
=4( 2 -1).
例5计算f岛xdx.
解设t = cosx，则当 X = 0 时，t =1 ;当 x=时，t - -1 .
,n si nx
)3 sin2 x
dx=「一1—dt 二
1 4-t2
1 _1_
4 —t
■■-J
-dt
2
[n1」
例6设f (x)在［-a, a］上连续，证明:
a
若f (x)为奇函数，贝U f(x)dx = 0 ;