文档介绍：函数的奇偶性
函数的奇偶性
【学****目标】
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【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：
；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
个函数，，，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）
，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式