文档介绍：图论及其应用
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本次课主要内容
(一)、涉及算法的相关概念
(二)、平面性算法
平面性算法
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关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判定方法：
(一)、涉及算法的相关概念
(1) 对于简单图G=(n, m)，如果m>3n-6，则G是非可平面的；
(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l≥3,且m>(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；
(3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有与K5或K3,3同胚的子图；
(4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够收缩成K5或K3,3的子图；
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上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个算法，其作用是：如果G非可平面，通过算法可以得到判定；如果G是可平面图，通过算法，可以给出一种平面嵌入形式。
定义1 设H是G的一个子图，在E(G)-E(H)中定义一个二元关系“ ~”:
(1) e1与e2分别是W的始边和终边，且
(2) W与H的内点不能相交。
容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。
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定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ~” 的等价类在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。
例1 在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G关于H的所有桥。
G
G
B1
B2
B3
B4
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定义3 设H是图G的可平面子图， 是H的一种平面嵌入。若G也是可平面图，且存在G的一个平面嵌入 ，且：
称 是G容许的。
例2 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取
容易知道： 是G容许的。
G
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例3 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取
容易知道： 不 是G容许的。
定义4 设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附着顶点都位于 的某个面f的边界上，则称B在面 f 内可画入，否则，称B在面 f 内不可画入。
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对于G的桥B,令：
例4 红色边的导出子图是H,如果取 确定H的桥在 中可以画入的面集合。
B3
B2
B1
f3
f2
f1
G
解：
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定理1 设 是G容许的，则对于H的每座桥B:
证明：因 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌入 ，使得：
于是，H的桥B所对应的 的子图，必然限制在 的某个面内。所以：
注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,
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使得对于某桥B，有 ，那么，G是非可平面的。
根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G的平面性问题：
先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是
对于H1的每座桥B,如果： ，则G非可平面。
否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面
将B1画入 的面 f 中。
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