%82率论与统计课件与课本同步_第4讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计
第四讲
主讲教师:程维虎教授
北京工业大学应用数理学院
显然,有 P(A|B)=P(A).
这就是说:事件B发生,并不影响事件A发生的概率。这时,称事件A与B相互独立,简称独立。
两事件的独立
A={第二次掷出6点},B={第一次掷出6点},
先看一个例子:将一颗均匀骰子连掷两次,设
§ 事件的独立性
由乘法公式知,当事件A与B独立时,有
P(AB)=P(A) P(B).
用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好。
◎不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约;
◎反映了事件A与 B的对等性。
定义1:若两事件A, B满足
P(AB)= P(A) P(B),
则称 A与B 相互独立,或称 A, B 独立。
两事件独立的定义
例1: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
故, P(AB) = P(A)P(B).
解:由于 P(A) = 4/52 = 1/13,
这说明事件A, B独立。
问事件A, B是否独立?
P(AB) = 2/52 = 1/26。
P(B) = 26/52 = 1/2,
前面是根据两事件独立的定义得出A, B独立的结论,我们也可以通过计算条件概率的办法得到 A, B独立的结论。
续前例:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立。
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13,
故,P(A)= P(A|B)。这也说明A, B独立。
如:一批产品共 n 件,从中抽取2件,设
Ai = {第 i 件是合格品}, i=1,2。
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。
其原因是:第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。
其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。
若抽取是无放回的,则A1与A2不独立。
请问:如图的两个事件是否独立?
即: 若A、B互斥,且P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B不独立。
其逆否命题是:若A与B独立,且 P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B一定不互斥。
而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。
故 A与B不独立。
我们来计算:
因 P(AB)=0,
P(AB) ≠ P(A)P(B)。
即
请问:能否在样本空间Ω中找到两个事件, 它们既相互独立又互斥?
所以,Φ与Ω独立且互斥。
不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
答:能。
设A, B为互斥事件,且P(A)>0, P(B)>0,
下面四个结论中,正确的是:
前面我们看到独立与互斥的区别和联系,请看下列两个练习。
1. P(B|A)>0, 2. P(A|B)=P(A),
3. P(A|B)=0, 4. P(AB)=P(A)P(B)。
设A, B为独立事件,且P(A)>0, P(B)>0,
下面四个结论中,正确的是:
1. P(B|A)>0, 2. P(A|B)=P(A),
3. P(A|B)=0 , 4. P(AB)=P(A)P(B)。