文档介绍：圆锥曲线的方程与性质
(1)椭圆概念
平面内与两个定点 F「F2的距离的和等于常数 2a (大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有|MF1| |MF2| 2a。
2 2 2 2
椭圆的标准方程为：x2乌1 ( a b 0)(焦点在x轴上)或与xy 1 (a b 0)(焦点在y轴 a2 b2 a2 b2
上)。
注：①以上方程中a,b的大小a b 0 ,其中b2 a2 c2 ；
2 2 2 2
②在x2 % 1和与 x2 1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2和y2的分
a b a b
2 2
母的大小。例如椭圆 — — 1(m 0, n 0, m n)当m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当 m n时
m n
表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
2
X
①范围：由标准方程x2 a
2
y
彳1知|x| a, |y| b,说明椭圆位于直线x b
a, y
b所围成的矩形里;
②对称性：在曲线方程里，若以
y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上,
所以曲线关于x轴对称，同理，以
x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以
x代替x , y代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x 0,得y b,则BK0, b), B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令 y 0得x a,即A( a,0),
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段 AA2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a和2b, a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a ,
且 |OF2 |2 | B2F2 |2 |OB2 |2 ,即 c2 a2 b2 ；
c
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e —叫椭圆的离心率。a c 0, .-.0 e 1,且e越接近1, c就 a
越接近a,从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之， e越接近于0, c就越接近于0,从而b越接近于a ,这时
椭圆越接近于圆。当且仅当 a b时，c 0,两焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 y2 a2。
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | | PF2 || 2a )。
注意：①式中是差的绝对值，在0 2a |F1F2|条件下；|PF1| |PF2| 2a时为双曲线的一支； |PF2| |PF1| 2a时为双曲线的另一支(含 F1的一支)；②当2a | F1F21时，||PF11 |PF2|| 2a表示两条射 线；③当2a IF1F2I时，||PFi| IPF2II 2a不表示任何图形；④两定点 Fi, F2叫做双曲线的焦点， 尸尸21叫做 焦距。
(2)双曲线的性质
2 2
①范围：从标准方程 x2 4 1,看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a的外侧。即
a b
2 2 .
x a , x a即双曲线在两条直线 x a的外侧。
2 2
②对称性：双曲线 x2 J 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a b 2 2
是双曲线x2 4 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b 2 2
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 ， J 1的方程里，对称轴是 x,y轴，所 a b
2 2
以令y 0得x a ,因此双曲线和x轴有两个交点 A ( a,0)A2(a,0),他们是双曲线 x2 "y? 1的顶点。
a b
令x 0,没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个
端点。
2）实轴：线段 A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B?叫做双
曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即