文档介绍：九年级上册
第一章图形的相似：
1、 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个
或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
2、 相似多边形性质
相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似 比。
相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形性质定理5：若相似比为1,贝U全等
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
3、 相似多边形的判定
对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边
形相似
4、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成比例。
如下图，如果匕〃匕〃 4，
„ . BC _ EF AB _ DE AB _ AC
J' AC - DF , ~AC~~DF，~DE~~DF'
5、平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边
（或两边的延长线）相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例。
如图，在三角形中，如果DE//BC ,则—=DE
BC
AB AC
6、相似三角形
1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相 似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；
2） 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3） 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如ZV4BC与ZWEF相似，记作△ABCs/\DEF。相似比为k。
4） 判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似。
7、三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
：两角对应相等，两三角形相似.（此定理用的最多）
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 ：三边对应成比例，两三角形相似.
8、直角三角形相似判定定理：
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成 的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD2=AD • BD,
AC2=AD • AB, / X.
BC2 =BD • BA / ■, -
A' R
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）. D
补充二：三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比
例，那么这两个三角形相似。
9、 相似三角形的性质
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比 （对应边的比）.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
10、 相似的应用：位似
1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图
形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形, 而相似图形不一定是位似图形。
两个位似图形的位似中心只有一个。
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对 对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比